1.
aₙ = n
Ciąg liczbowy aₙ nazywamy ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała dla danego ciągu i oznaczamy ją przez r.
Obliczam kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:
a₁ = 1
a₂ = 2
a₃ = 3
a₄ = 4
Obliczam różnice ciągu r:
r = a₄ - a₃ = 4-3 = 1
r = a₃ - a₂ = 3 - 2 = 1
r = a₂ - a₁ = 2 - 1 = 1
Różnica ciągu r jest stała, więc ciąg aₙ jest ciągiem arytmetycznym.
2.
bₙ = n²
Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz dowolnego wyrazu ciągu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzajacego jest stały dla danego ciągu i oznaczamy go przez q.
Obliczam kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:
b₁ = 1² = 1
b₂ = 2² = 4
b₃ = 3² = 9
b₄ = 4² = 16
Obliczam iloraz ciągu q:
q₁ = b₄/b₃ = 16/9
q₂ = b₃/b₂ = 9/4
q₃ = b₂/b₁ = 4/1
16/9 ≠ 9/4 ≠ 4/1
q₁ ≠ q₂ ≠ q₃
Iloraz ciągu q nie jest stały, więc ciąg bₙ nie jest ciągiem geometrycznym.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zadanie 1.
Ciąg jest ciągiem arytmetycznym, jeżeli różnica (r) każdego wyrazu następnego i poprzedniego jest stała.
[tex]a_{n} = n\\a_{n+1} = n+1[/tex] ← kolejny (następny) wyraz ciągu
badamy różnicę:
[tex]r=[/tex][tex]a_{n+1} -a_{n} = n+1 - n = 1[/tex]
[tex]r=1[/tex]
Jest to ciąg jest arytmetyczny o różnicy r=1.
Zadanie 2.
W ciągu geometrycznym iloraz (q) wyrazu następnego przez poprzedni jest stały.
[tex]b_{n} =n^{2}[/tex]
[tex]b_{n+1} =(n+1)^{2}[/tex] ← kolejny ( następny) wyraz
[tex]q = \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\frac{(n+1)^{2} }{n^{2} } =\frac{n^{2}+2n+1 }{n^{2} }[/tex]
Nie możemy uprościć wyrażenia, nie otrzymamy stałej liczby q, więc ten ciąg nie jest geometryczny.
Nie jest to ciąg geometryczny.