Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]f(x,y)=e^{x-1}(x+y^{2})[/tex]
Dziedzina:
[tex]D=\mathbb{R}^{2[/tex]
Pochodne cząstkowe:
[tex]$\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x-1}(x+y^{2})+e^{x-1}=e^{x-1}(x+y^{2}+1)[/tex]
[tex]$\frac{\partial f}{\partial y}=2ye^{x-1}[/tex]
Układ równań i punkty stacjonarne:
[tex]$\left \{ {{\frac{\partial f}{\partial x}=0} \atop {\frac{\partial f}{\partial y}=0}} \right. \iff \left \{ {{e^{x-1}(x+y^{2}+1)=0} \atop {2ye^{x-1}=0}} \right. \iff \left \{ {{x+y^{2}+1=0} \atop {y=0}} \right.[/tex]
Podstawiając [tex]y=0[/tex] mamy [tex]x=-1[/tex], stąd jedynym punktem stacjonarnym jest:
[tex]P=(-1,0)[/tex]
Pochodne cząstkowe rzędu drugiego:
[tex]$\frac{\partial ^2f}{\partial x^2 }=e^{x-1}(x+y^{2}+2)[/tex]
[tex]$\frac{\partial ^2f}{\partial x \partial y}=2ye^{x-1}[/tex]
[tex]$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=2ye^{x-1}[/tex]
[tex]$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2e^{x-1}[/tex]
Macierz drugich pochodnych cząstkowych (dla [tex]P_{1}[/tex]):
[tex]$W=\left|\begin{array}{ccc}e^{-2}&0\\0&2e^{-2}\end{array}\right|=2e^{-4}=\frac{2}{e^{4}} > 0[/tex]
Poza tym:
[tex]$\frac{\partial ^2f}{\partial x^2} (P_{1})=e^{-2} > 0[/tex]
Wniosek:
Funkcja [tex]f[/tex] osiąga minimum lokalne dla [tex]P_{1}=(-1,0)[/tex] równe [tex]$-\frac{1}{e^{2}}[/tex] .