prędkość to pochodna położenia po czasie, położenie jest dane tutaj przez x i y, więc
[tex]v_{x}(t) = \frac{dx}{dt} = -4\\v_{y}(t) = \frac{dy}{dt} = 6t\\\vec{v} = (-4,6t)\\|\vec{v}(t)| = \sqrt{v_{x}(t)^{2} + v_{y}(t)^{2}} = \sqrt{16+36t^{2}}[/tex]
podobnie, przyśpieszenie(całkowite) to pochodna składowych prędkości po czasie:
[tex]a_{x} = \frac{dv_{x}}{dt} = 0\\a_{y} = \frac{dv_{y}}{dt} = 6\\\vec{a} = (0,6)[/tex]
[tex]|\vec{a}| = \sqrt{0+36} = 6[/tex]
w ruchu krzywiliniowym zachodzi również;
[tex]|a| = \sqrt{|a_{n}^{2}| + |a_{t}^{2}|}[/tex] gdzie [tex]a_{n}[/tex] to przyśpieszenie normalne oraz [tex]a_{t}[/tex] to przyśpieszenie styczne
przyspieszenie styczne można policzyć ze wzoru:
[tex]a_{t} = \frac{dv}{dt}[/tex], co oznacza zmianę długości wektora prędkości.
Długość wektora prędkości była policzona wyżej, i jest równa:
[tex]\\|\vec{v}(t)| = \sqrt{v_{x}(t)^{2} + v_{y}(t)^{2}} = \sqrt{16+36t^{2}}[/tex]
czyli:
[tex]a_{t} = \frac{d}{dt}(\sqrt{36t^{2}+16}) = \frac{72t}{2\sqrt{36t^{2}+16}} = \frac{36t}{\sqrt{36t^{2}+16}}[/tex]
[tex]|a| = \sqrt{|a_{n}^{2}| + |a_{t}^{2}|}[/tex], więc [tex]|a_n| = \sqrt{|a^{2}| - |a_{t}^{2}|}[/tex]
[tex]|a_{n}| = \sqrt{36 - \frac{(36t)^{2}}{\sqrt{36t^2 + 16}}} = \frac{12}{\sqrt{9t^{2}+4}}[/tex]
przyśpieszenie normalne można też policzyć ze wzoru
[tex]a_{n} = \frac{|v|^{2}}{r}[/tex] gdzie r to promień krzywizny, wszystko oprócz r mamy już wcześniej wyliczone, więc
[tex]r(t) = \frac{|v|^{2}}{a_{n}} = \frac{16+36t^{2}}{\frac{12}{\sqrt{9t^{2}+4}}} = \frac{(16+36t^{2})\sqrt{9t^{2}+4}}{12}[/tex]
Mogą być po drodze jakieś błędy obliczeniowe ale raczej wszystko powinno być dobrze :)