Najpierw trzeba znaleźć jakieś ograniczenia tego obszaru, łatwo zauważyć, że jest to okrąg, więc zapewne łatwiej będzie to policzyć jak przejdziemy na współrzędne biegunowe.
To samo równanie zapisane trochę inaczej:
[tex]x^{2} + y^{2} \leq 4y\\x^{2} + (y-2)^{2} \leq 4[/tex]
Policzę to na 2 sposoby, 1 z użyciem przesuniętych współrzędnych biegunowych i 2 z użyciem zwykłych:
1 sposób:
Zmieniamy zmienne:
[tex]x = rcos\theta\\y-2 = rsin\theta[/tex]
Jakobian takiego przejścia to:
[tex]|J| = r[/tex], bo odejmowanie/dodawanie stałych nie ma wpływu na wartości pochodnych, więc Jakobian jest taki sam jak Jakobian zwykłych współrzędnych biegunowych
Wtedy ograniczenia są następujące:
[tex]x^{2} + (y-2)^2 \leq 4\\(rcos\theta)^{2} + (rsin\theta)^{2} \leq 4\\r^{2} \leq 4\\0\leq r \leq 2[/tex](bo r musi być dodatnie)
[tex]\theta \in [0, 2\pi][/tex] (bo r jest niezależne od [tex]\theta[/tex] i nie ma żadnych dodatkowych ograniczeń)
Warto sobie przypomnieć o zamianie całki podwójnej(lub ogólnie wielokrotnej) na iterowane:
[tex]\iint_{D} f(x,y)dD = \iint_{D'}|J|f(a(x),b(y))dD' = \int_{\alpha}^{\beta}da\int_{c(a)}^{d(a)}|J|fdb[/tex]
gdzie [tex]|J|[/tex] to jakobian naszej zamiany zmiennych
Teraz, do policzenia mamy takie coś:
[tex]\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}2r*rcos\theta dr =2 \int_{0}^{2\pi}cos\theta d\theta \int_{0}^{2}r^{2} dr = \frac{16}{3}\int_{0}^{2\pi}cos\theta d\theta = 0[/tex]
========================================================
2 sposób, zwykłe współrzędne biegunowe:
Zamieniamy zmienne:
[tex]x = rcos\theta\\y = rsin\theta\\|J| = r[/tex]
Dalej wyliczamy ograniczenia:
[tex]x^{2} + y^{2} \leq 4y\\(rcos\theta)^{2} + (rsin\theta)^{2} \leq 4rsin\theta\\r^{2} \leq rsin\theta\\r \leq sin\theta\\0 \leq r \leq sin\theta[/tex], można podzielić przez r bo r we współrzędnych biegunowych musi być dodatnie
[tex]r \in [0, sin\theta][/tex], więc [tex]\sin\theta[/tex] musi być dodatnie, korzystając z tego znajdziemy ograniczenia na [tex]\theta[/tex] (można też narysować, i zauważyć że cały okrąg zawiera się w I i II ćwiartce, więc [tex]\theta \in [0,pi][/tex] )
[tex]sin\theta > 0 \implies \theta \in [0, \pi][/tex]
więc ostatecznie:
[tex]r \in [0, sin\theta]\\\theta \in [0, \pi][/tex]
[tex]r[/tex] jest tutaj zależne od [tex]\theta[/tex], więc "najbardziej wewnętrzną"(albo przynajmniej bardziej wewnętrzną od tej liczonej po [tex]d\theta[/tex]) całką musi być tutaj ta liczona po [tex]dr[/tex], czyli liczymy:
[tex]\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{sin\theta}r*2rcos\theta dr = \int_{0}^{\pi}cos\theta d\theta \int_{0}^{sin\theta}2r^{2} dr = \frac{2}{3}\int _{0}^{\pi} cos\theta*sin^{3}\theta d\theta[/tex]
---------------------------------------------------------------------------
[tex]\\\int cos\theta*sin^{3}\theta d\theta = |t = sin\theta, dt = cos\theta d\theta| = \int t^{3} dt = \frac{t^{4}}{4}[/tex]
---------------------------------------------------------------------------
[tex]\int _{0}^{\pi} cos\theta*sin^{3}\theta d\theta = [\frac{sin^{4}\theta}{4}]_0^{\pi} = \frac{1}{4}(sin^{4}(\pi) - sin^{4}(0)) = 0[/tex]
