Rozwiązanie:
Układ:
[tex]$\left\{\begin{array}{ccc}2x-y+\alpha z=1\\x+2y-z=1\\x-2y+\alpha z=2\end{array}\right[/tex]
Stosujemy na początek metodę Cramera, liczymy wyznacznik główny:
[tex]W=\left|\begin{array}{ccc}2&-1&\alpha \\1&2&-1\\1&-2&\alpha \end{array}\right|=(4\alpha +1-2\alpha )-(2\alpha +4-\alpha )=\alpha -3[/tex]
Pozostałe wyznaczniki:
[tex]W_{x}=\left|\begin{array}{ccc}1&-1&\alpha \\1&2&-1\\2&-2&\alpha \end{array}\right|=(2\alpha +2-2\alpha )-(4\alpha +2-\alpha )=-3\alpha[/tex]
[tex]W_{y}=\left|\begin{array}{ccc}2&1&\alpha \\1&1&-1\\1&2&\alpha \end{array}\right|=(2\alpha -1+2\alpha )-(\alpha -4+\alpha )=2\alpha +3[/tex]
[tex]W_{z}=\left|\begin{array}{ccc}2&-1&1 \\1&2&1\\1&-2&2 \end{array}\right|=(8-1-2)-(2-4-2)=9[/tex]
Tak więc, gdy [tex]\alpha -3 \neq 0 \iff \alpha \neq 3[/tex], to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie równe:
[tex]$x=\frac{W_{x}}{W} =-\frac{3\alpha}{\alpha-3}[/tex]
[tex]$y=\frac{W_{y}}{W} =\frac{2\alpha+3}{\alpha-3}[/tex]
[tex]$z=\frac{W_{z}}{W}=\frac{9}{\alpha-3}[/tex]
Badamy co się dzieje, gdy [tex]\alpha = 3[/tex] :
[tex]$\left\{\begin{array}{ccc}2x-y+3z=1\\x+2y-z=1\\x-2y+3z=2\end{array}\right[/tex]
Macierz rozszerzona układu:
[tex]$\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\1&2&-1\\1&-2&3\end{array}\right|\left\begin{array}{c}1&1&2\end{array}\right][/tex]
Teraz wykonujemy operacje elementarne na wierszach. Na początek mnożymy wiersz drugi i trzeci przez [tex]2[/tex] :
[tex]$\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\2&4&-2\\2&-4&6\end{array}\right|\left\begin{array}{c}1&2&4\end{array}\right][/tex]
Teraz robimy [tex]w_{2}-w_{1}[/tex] oraz [tex]w_{3}-w_{1}[/tex], co daje nam:
[tex]$\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\0&5&-5\\0&-3&3\end{array}\right|\left\begin{array}{c}1&1&3\end{array}\right][/tex]
Mnożymy wiersz drugi przez [tex]3[/tex] i trzeci przez [tex]5[/tex] :
[tex]$\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\0&15&-15\\0&-15&15\end{array}\right|\left\begin{array}{c}1&3&15\end{array}\right][/tex]
Na koniec dodajemy oba wiersze:
[tex]$\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\0&15&-15\\0&0&0\end{array}\right|\left\begin{array}{c}1&3&18\end{array}\right][/tex]
Widzimy, że rząd macierzy układu wynosi [tex]2[/tex], a rząd macierzy rozszerzonej układu wynosi [tex]3[/tex] (czyli nie są sobie równe). Wniosek - dla [tex]\alpha =3[/tex] na mocy tw. Kroneckera - Capallego układ nie ma rozwiązań.
