Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D}(4y-x) \ dxdy[/tex]
Obszar całkowania [tex]D[/tex] jest wycinkiem pierścienia kołowego, więc przejdziemy na współrzędne biegunowe:
[tex]$\left \{ {{x=r \cos \varphi} \atop {y=r\sin \varphi}} \right.[/tex]
[tex]J(r,\varphi)=r[/tex]
gdzie (odczytujemy z rysunku):
[tex]1\leq r\leq 2[/tex]
[tex]$\frac{\pi}{2} \leq \varphi\leq \frac{5\pi}{4}[/tex]
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D}(4y-x) \ dxdy=\int\limits^{2}_{1}\Bigg( \int\limits^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{\pi}{2}} (4r \sin \varphi - r \cos \varphi)r \ d \varphi\Bigg)dr=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{2}_{1}\Bigg( \int\limits^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{\pi}{2}} 4r^{2} \sin \varphi - r ^{2}\cos \varphi\ d \varphi\Bigg)dr=\int\limits^{2}_{1} \Big(4r^{2} \cdot (-\cos \varphi) \Bigg|^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{\pi}{2}} - r^{2} \cdot \sin \varphi \Bigg|^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{\pi}{2}}\Big)dr=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{2}_{1} 4r^{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+r^{2} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2} \ dr=\frac{5\sqrt{2}+2}{2} \int\limits^{2}_{1}r^{2} \ dr=\frac{5\sqrt{2}+2}{2} \cdot \frac{r^{3}}{3}\Bigg|^{2}_{1}=[/tex]
[tex]$=\frac{5\sqrt{2}+2}{2}\Big(\frac{8}{3}-\frac{1}{3} \Big)=\frac{7(5\sqrt{2}+2)}{6}[/tex]
