Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.
Wtedy:
Z twierdzenia cosinusów mamy:
c² = a² + b² - 2ab·cosγ
Czyli:
[tex]\bold{(\sqrt{31})^2= 1^2+5^2-2\cdot1\cdot5\cdot\cos\gamma} \\\\\bold{31= 1+25-10\cos\gamma} \\\\\bold{10\cos\gamma=-5\qquad/:10}\\\\\bold{\cos\gamma=-\frac12}[/tex]
Ze wzoru redukcyjnego mamy, że: [tex]\bold{\cos(180^o-\gamma)=-cos\gamma}[/tex]
Zatem:
[tex]\bold{\cos\gamma=-\frac12\qquad/\cdot(-1)}\\\\\bold{-\cos\gamma=\frac12}\\\\\bold{\cos(180^o-\gamma)=\frac12}[/tex]
Wiemy, że cosinus wynosi ¹/₂ dla kąta 60°, czyli:
[tex]\bold{180^o-\gamma=60^o}\\\\\bold{\gamma=120^o}[/tex]
Kolejny kąt również możemy wyznaczyć z twierdzenia cosinusów:
b² = a² + c² - 2ac·cosβ
Stąd:
[tex]\bold{5^2= 1^2+(\sqrt{31})^2-2\cdot1\cdot\sqrt{31}\cdot\cos\beta} \\\\ \bold{25= 1+31-2\sqrt{31}\cos\beta} \\\\\bold{2\sqrt{31}\cos\beta=7\qquad/:(2\sqrt{31})} \\\\ \bold{\cos\beta=\frac7{2\sqrt{31}}=\frac{7\sqrt{31}}{62}\approx0{,}6286}[/tex]
Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych mamy, że
[tex]\bold{\cos\beta=0{,}6286\quad\iff\quad\beta\approx51^o}[/tex]
Znając miary dwóch kątów, miarę trzeciego możemy obliczyć z sumy kątów w trójkącie:
[tex]\bold{\alpha+\beta+\gamma=180^o\quad\implies\quad \alpha=180^o-\beta-\gamma}[/tex]
Czyli:
α = 180° - 51° - 120° = 9°
Odp.:
Miary kątów tego trójkąta wynoszą: 9°, 51° i 120°
