Układy równań.
Mamy dany układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a^2+b^2=220\\ab=15\sqrt{35}\end{array}\right[/tex]
Z drugiego równania wynika, że a ≠ 0 i b ≠ 0.
Wyznaczamy z niego a:
[tex]ab=15\sqrt{35}\qquad|:b\neq0\\\\\boxed{a=\dfrac{15\sqrt{35}}{b}}[/tex]
Podstawiamy do pierwszego równania:
[tex]\left(\dfrac{15\sqrt{35}}{b}\right)^2+b^2=220\\\\\dfrac{15^2\cdot\left(\sqrt{35}\right)^2}{b^2}+b^2=220\qquad|\cdot b^2\neq0\\\\225\cdot35+b^4=220b^2\qquad|-220b^2\\\\b^4-220b^2+7875=0[/tex]
Otrzymujemy równanie dwukwadratowe.
Wykonujemy podstawienie:
[tex]b^2=t > 0\\\\t^2-220t+7875=0[/tex]
Rozwiążemy je za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego (Δ).
[tex]ax^2+bx+c=0\\\\\Delta=b^2-4ac[/tex]
Jeżeli Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Jeżeli Δ = 0, to równanie ma dwukrotny pierwiastek postaci
[tex]x_0=\dfrac{-b}{2a}[/tex]
Jeżeli Δ > 0, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste postaci
[tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Rozwiązanie:
[tex]a=1,\ b=-220,\ c=7875\\\\\Delta=(-220)^2-4\cdot1\cdot7875=48400-31500=16900\\\\\sqrt\Delta=\sqrt{16900}=130\\\\t_1=\dfrac{-(-220)-130}{2\cdot1}=45\\\\t_2=\dfrac{-(-220)+130}{2\cdot1}=175[/tex]
Wracamy do podstawienia:
[tex]b^2=45\ \vee\ b^2=175\\\\b=\pm\sqrt{45}\ \vee\ b=\pm\sqrt{175}\\\\b=\pm\sqrt{9\cdot5}\ \vee\ b=\pm\sqrt{25\cdot7}\\\\b=-3\sqrt5\ \vee\ b=3\sqrt5\ \vee\ b=-5\sqrt7\ \vee\ b=5\sqrt7[/tex]
Obliczamy wartości a:
[tex]b=-5\sqrt7\\\\a=\dfrac{15\sqrt{35}}{-5\sqrt7}=-3\sqrt5\\\\\\b=-3\sqrt5\\\\a=\dfrac{15\sqrt{35}}{-3\sqrt5}=-5\sqrt7\\\\\\b=3\sqrt5\\\\a=\dfrac{15\sqrt{35}}{3\sqrt5}=5\sqrt7\\\\\\b=5\sqrt7\\\\a=\dfrac{15\sqrt{35}}{5\sqrt7}=3\sqrt5[/tex]
Rozwiązaniem są pary liczb:
[tex]\huge\boxed{a=-3\sqrt5,\ b=-5\sqrt7}\\\boxed{a=-5\sqrt7,\ b=-3\sqrt5}\\\boxed{a=5\sqrt7,\ b=3\sqrt5}\\\boxed{a=3\sqrt5,\ b=5\sqrt7}[/tex]
