Równania trygonometryczne.
Mamy do rozwiązania cztery równania trygonometryczne.
[tex]a)\ \sin2x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\\\\b)\ \cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\c)\ \sin x=\dfrac{1}{2}\\\\d)\ 2\cos^2x-3=-3\sin x\qquad\text{dla}\ x\in\left < 0,\ 2\pi\right >[/tex]
Rozwiązania:
[tex]a)\ \sin2x=-\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]
skorzystamy z:
[tex]-\sin\alpha=\sin(\pi+\alpha)[/tex]
[tex]\sin2x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow\sin(\pi+2x)=\dfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow\pi+2x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\ \vee\ \pi+2x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\\\\2x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\ \vee\ 2x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\qquad|:2\\\\\huge\boxed{x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi\ \vee\ x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\ \text{dla}\ k\in\mathbb{Z}}[/tex]
[tex]b)\ \cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}[/tex]
skorzystamy z:
[tex]-\cos\alpha=\cos(\pi-\alpha)[/tex]
[tex]\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow\cos(\pi-x)=\dfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow\pi-x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\ \vee\ \pi-x=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\\\\-x=-\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi\ \vee\ -x=-\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi\qquad|\cdot(-1)\\\\x=\dfrac{3\pi}{4}-2k\pi\ \vee\ x=\dfrac{5\pi}{4}-2k\pi\\\\\huge\boxed{x=\dfrac{3\pi}{4}+2n\pi\ \vee\ x=\dfrac{5\pi}{4}+2n\pi\ \text{dle}\ n\in\mathbb{Z}}[/tex]
[tex]c)\ \sin x=\dfrac{1}{2}\\\\\huge\boxed{x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\ \text{dla}\ k\in\mathbb{Z}}[/tex]
[tex]d)\ 2\cos^2x-3=-3\sin x[/tex]
skorzystamy z tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\to\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha[/tex]
[tex]2(1-\sin^2x)-3=-3\sin x\\\\2-2\sin^2x-3+3\sin x=0\\\\-2\sin^2x+3\sin x-1=0\qquad|\cdot(-1)\\\\2\sin^2x-3\sin x+1=0\\\\2\sin^2x-2\sin x-\sin x+1=0\\\\2\sin x(\sin x-1)-1(\sin x-1)=0\\\\(\sin x-1)(2\sin x-1)=0[/tex]
iloczyn jest równy 0, gdy jeden z czynników jest równy 0. Stąd:
[tex](\sin x-1)(2\sin x-1)=0\iff\sin x-1=0\ \vee\ 2\sin x-1=0\qquad|+1\\\\\sin x=1\ \vee\ 2\sin x=1\qquad|:2\\\\\sin x=1\ \vee\ \sin x=\dfrac{1}{2}[/tex]
Rozwiązanie ma być z przedziału ⟨0, 2π⟩. Stąd:
[tex]\sin x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\\\\\sin x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\ \vee\ x=\dfrac{5\pi}{6}\\\\\huge\boxed{x\in\left\{\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{6}\right\}}[/tex]
