Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Układ równań
a₁x+b₁y=c₁
a₂x+b₂y=c₂,
gdzie a₁, a₂, b₁, b₂ c₁, c₂ są dowolnymi liczbami przy czym a₁ i a₂ oraz b₁ i b₂ nie mogą być jednocześnie zerami nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x, y), która spełnia jednocześnie oba równania układu. Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zależy od wartości współczynników obu równań liniowych układu.
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi może:
- mieć dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest para liczb (układ oznaczony),
- mieć nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony),
- nie mieć rozwiązań (układ sprzeczny).
Interpretacja geometryczna układu równań liniowych.
Dla układu oznaczonego rozwiązaniem są współrzędne punktu przecięcia prostych o podanych równaniach,
Dla układu nieoznaczonego proste mają nieskończenie wiele punktów wspólnych (proste te się pokrywają)
Dla układu sprzecznego proste nie mają punktów wspólnych (są równoległe i rozłączne).
Metody rozwiązywania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
Niech będzie dany układ równań
a₁x+b₁y=c₁
a₂x+b₂y=c₂
Metoda podstawiania
Metoda polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego z równań układu i podstawieniu wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. Uzyskujemy w ten sposób równanie liniowe z jedną niewiadomą. Wyznaczoną z tego równania niewiadomą podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy wartość drugiej niewiadomej.
Metoda przeciwnych współczynników
Metoda ta polega na pomnożeniu równań układu przez odpowiednio dobrane liczby, tak aby po dodaniu równań stronami otrzymać równanie z jedną niewiadomą.
Metoda graficzna
Metoda ta polega na wykreśleniu w prostokątnym układzie współrzędnych wykresu (linii prostej) każdego równania układu i odczytaniu współrzędnych punktów wspólnych dla obu prostych.
Jeżeli dwie proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych, to układ równań nie ma rozwiązania, jeżeli natomiast równania układu opisują tę samą prostą, to rozwiązaniem układu równań są współrzędne wszystkich punktów należących do tej prostej - jest ich nieskończenie wiele.
Metoda Wyznaczników
Metoda wyznaczników polega na wyznaczeniu tzw. wyznaczników i na podstawie ich wartości przeprowadzeniu analizy rozwiązań układu równań.
1)
Metoda przeciwnych wspólczynników
[tex]2x+y = 7\\x-y = -1\\------ \ \ + \ \ (dodajemy \ stronami)\\3x = 6 \ \ |:3\\x = 2\\\\y = 7-2x = 7-2\cdot2 = 7-4\\y = 3\\\\\{x = 2}\\\{y = 3}}[/tex]
2)
Metoda podstawiania
[tex]x - 3y = -12\\5x-y = 4\\\\x = 3y-12\\5(3y-12)-y = 4\\\\x = 3y-12\\15y-60-y = -4\\\\x = 3y-12\\14y = -4+60\\\\x = 3y-12\\14y = 56 \ \ |:14\\\\x = 3y-12\\y = 4\\\\x = 3\cdot4-12=12-12\\x = 0\\\\\{x = 0\\\{y = 4[/tex]
3)
Metoda przeciwnych współczynników
[tex]15 = x+3y\\10=2x+y\\\\x+3y = 15\\2x+y = 10 \ \ |\cdot(-3)\\\\x+3y = 15\\-6x-3y=-30\\--------- \ \ \ +\\\\-5x = -15 \ \ |:(-5)\\x = 3\\\\y = 10-2x = 10-2\cdot3 = 10-6\\y = 4\\\\\{x = 3\\\{y = 4[/tex]
4)
Metoda przeciwnych współczynników
[tex]x-6y = -22\\2x+3y = 16 \ \ |\cdot2\\\\x-6y = -22\\4x+6y = 32\\------- \ \ \ +\\\\5x = 10 \ \ |:5\\x = 2\\\\3y = 16-2x = 16-2\cdot2 = 16-4\\3y = 12 \ \ |:3\\y = 4\\\\\{x = 2\\\{y = 4[/tex]
