Odpowiedź:
1.11
a)
Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów:
x < 2 lub x > 4 to x ∈ {(− ∞; 2) ∪ (4; + ∞)}
1.5
d)
x²(x - 3) + 9(x - 3) = (x - 3)(x² + 9)
Szczegółowe wyjaśnienie:
1.11
a)
(x - 2)(x - 4) > 0 to (nie zawsze trzeba obliczać ∆, √∆, ..., bo z tej
postaci (iloczynowej) mamy już rozwiązania równania paraboli) -
miejsca zerowe x1 = 2 i x2 = 4.
Przez środek odcinka o końcach w punktach 2 i 4, leżącego na osi
OX, a więc przez punkt x = 3 przechodzi oś symetrii paraboli, a na
osi symetrii paraboli leży przecież wierzchołek paraboli, więc
współrzędną wierzchołka x już mamy, x = 3.
Jak do równania paraboli y = f(x) = (x - 2)(x - 4) podstawimy x = 3,
to otrzymamy współrzędną y wierzchołka, to y = (3 - 2)(3 - 4) = - 1
to wierzchołek W(x, y) = W(3, - 1).
Z tej postaci iloczynowej równania widzimy też od razu, że po
przenożeniu nawiasów, współczynnik przy x², ax², a = 1 > 0, a to z
kolei oznacza, że parabola jest skierowana gałęziami do góry
(wierzchołkiem do dołu), a to dalej oznacza, że parabola (funkcja)
w punkcie wierzchołka, a więc dla x = 3 przyjmuje wartość najmniejszą
y = - 1 [f(x)ekstr. = f(x)min. = f(3) = - 1]
W nierówności postawiono znak y = f(x) > 0, a więc rozwiązaniem
nierówności jest ta część paraboli, która leży po wyżej osi 0X, tą część
wyznaczają miejsca zerowe,
to: Odpowiedź:
Rozwiązaniem nierówności jest suma przedziałów:
x < 2 lub x > 4 to x ∈ {(− ∞; 2) ∪ (4; + ∞)}
[przedstawiono tutaj przykładowo, jak można rozwiązywać zagadnienia związane z funkcja kwadratową bez dokonywania obliczeń - może zbyt długa treść całego rozwiązania wynika z tego, że chciałem przedstawił taką analizę wyczerpująco - a przy rozwiazywaniu tego typu zagadnień nożna całą analizę skrócić, by podać wynik.]
1.5
d)
Przekształcimy podane wyrażenie, by doprowadzić do postaci iloczynowej: Wyłączymy (x - 3) przed nawias:
x²(x - 3) + 9(x - 3) = (x - 3)(x² + 9)
Gdybyśmy w drugim nawiasie mieli (x² - 9) to (x² - 9) = (x - 3)(x +3),
ale (x² + 9) już nie daje się rozłożyć, więc pozostaje,
to: Odpowiedź:
x²(x - 3) + 9(x - 3) = (x - 3)(x² + 9)
