Niech A - zbiór wszystkich wyników losowania
Wtedy |A| można policzyć najprościej wprost ze wzoru na wariacje bez powtórzeń:
|A| = 20! / (20-5)! (liczba ciągów 5-el ze zbioru 20-el bez zwracania)
Ale |A| można policzyć jeszcze takim sposobem:
|A| = [tex]{20}\choose{5}[/tex] * 5!
przez zastosowanie rozumowania:
aby otrzymać dowolny wynik powyższego losowania można wybrać najpierw 5 elementów z 20-tu (liczba podzbiorów 5-el wybranych ze zbioru 20-el wynosi [tex]{20}\choose{5}[/tex], to oznaczanie nosi nazwę symbolu Newtona), a następnie mając te 5 el. ustawić je w konkretnej kolejności (można to zrobić na 5! sposobów - permutacja)
Oczywiście łatwo sprawdzić, że 20! / (20-5)! = [tex]{20}\choose{5}[/tex] * 5!
Można także zauważyć, że na drugiem etapie powyższego rozumowania, czyli ustawiając tych 5 różnych liczb w kolejności tylko w jednym przypadku otrzyma się ciąg rosnący (a w pozostałych przypadkach malejący lub niemonotoniczny)
Zatem:
Niech B - otrzymano ciąg rosnący i
C - otrzymano ciąg który nie jest rosnący, wtedy
|B| = [tex]{20}\choose{5}[/tex] * 1
|C| = [tex]{20}\choose{5}[/tex] * (5! - 1)
W zadaniu jest pytanie o P(B) = |B| / |A| = 1 / 5! = 1 / 120
Odp: Ciąg rosnący zostanie wylosowany z prawd. 1 / 120.
