Rozwiązanie:
Szereg:
[tex]$\sum^{\infty}_{n=2}\frac{n^{3}+n}{n^{4}-n}[/tex]
Niech [tex]$a_{n}=\frac{n^3+n}{n^4-n}[/tex] .
Zauważmy, że dla [tex]n\geq 2[/tex] zachodzi:
[tex]$a_{n}\geq \frac{n^{3}}{n^{4}}=\frac{1}{n}=b_{n}[/tex]
Szereg [tex]$\sum^{\infty}_{n=2} b_{n}[/tex] jest rozbieżny jako szereg Dirichleta dla [tex]\alpha =1[/tex] lub jako szereg harmoniczny. Na mocy kryterium porównawczego szereg [tex]$\sum^{\infty}_{n=2}\frac{n^{3}+n}{n^{4}-n}[/tex] jest rozbieżny.
Fakt, że zaczynamy sumowanie od [tex]n=2[/tex] z punktu widzenia tego kryterium (i nie tylko) nic nie zmienia, gdyż wystarczy, że istnieje takie [tex]k[/tex], że dla wszystkich [tex]n\geq k[/tex] nierówność jest spełniona.
