Planimetria. Pole sześciokąta foremnego i trójkąta prostokątnego.
Pole trójkąt równobocznego o boku a:
[tex]P=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]
Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzieli go na 6 trójkątów równobocznych. Stąd mamy wzór.
Pole sześciokąta foremnego o boku a:
[tex]P=6\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}[/tex]
Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i b:
[tex]P=\dfrac{a\cdot b}{2}[/tex]
Krótsza przekątna sześciokąta foremnego odpowiada dwóm wysokościom trójkąta równobocznego o boku równym bokowi sześciokąta.
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a obliczamy ze wzoru:
[tex]h=\dfrac{a\sqrt3}{2}[/tex]
Stąd:
[tex]|AC|=2\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}=a\sqrt3[/tex]
Szukane pole trójkąta ACD będzie wyrażać się wzorem:
[tex]P_{ACD}=\dfrac{1}{2}\cdot a\sqrt3\cdot a\\\\\huge\boxed{P_{ACD}=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}}[/tex]
Mamy dane pole sześciokąta równe 60. Podstawiamy do wzoru:
[tex]\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}=60\qquad|:3\\\\\dfrac{a^2\sqrt3}{2}=20[/tex]
A tak wyraża się pole trójkąta ABC. Stąd ostatecznie mamy:
[tex]\huge\boxed{P_{ACD}=20}\leftarrow B.[/tex]
