1. Wyznacz dziedzinę funkcji f oraz jej miejsce zerowe.
a) f(x)=log₀,₅(1-x³)
b) f(x)=log₀,₁(x²-1)
c) f(x)=log₀,₁I2x+3I
d) f(x)=log₃(x²+x+1)
e) f(x)=log₂(x²-5x+4)
f) f(x)=log Ix²-1I
.Odpowiedź:
[tex]a)\\f(x)=log_{0.5}(1-x^3)\\1-x^3 > 0\\-x^3 > -1\\x^3 < 1\\x < 1\\\underline{D: x\in (-\infty; 1)}\\\\log_{0.5}(1-x^3)=0\\1-x^3=0.5^0\\1-x^3=1 /-1\\-x^3=0 /*(-1)\\x^3=0\\\underline{x=0 \in D}\\\\\text{Dziedzina: } D: x\in (-\infty; 1)\\\text{Miejsce zerowe: } x_0=0[/tex]
[tex]b)\\\\f(x)=log_{0.1}(x^2-1)\\x^2-1 > 0\\(x-1)(x+1) > 0\\\text{Parabola z ramionami skierowanymi w gore o miejscach zerowych } 1, -1\\\underline{x\in(-\infty; -1)\cup(1; \infty)}\\\\log_{0.1}(x^2-1)=0\\x^2-1=0.1^0\\x^2-1=1 /+1\\x^2=2\\\underline{x=\sqrt2 \text{ v } x=-\sqrt2 \in D}\\\\\text{Dziedzina: } D: x\in (-\infty; -1)\cup(1; \infty)\\\text{Miejsca zerowe: } x_1=\sqrt2, x_2=-\sqrt2[/tex]
[tex]c)\\\\f(x)=log_{0.1}|2x+3|\\|2x+3| > 0\\2x+3 > 0 \text{ v } -(2x+3) > 0\\2x > -3 \text{ v } -2x > 3\\x > -\frac32 \text{ v } x < -\frac32\\\underline{x\in(-\infty; -\frac32)\cup(-\frac32; \infty)}\\\\log_{0.1}|2x+3|=0\\|2x+3|=0.1^0\\2x+3=1 \text { v } -(2x+3)=1\\2x=-2 \text{ v } -2x=4\\ \underline{x = -1 \text{ v } x=-2 \in D}\\\\\text{Dziedzina: } D: x\in R \setminus \{-\frac32\}\\\text{Miejsca zerowe: } x_1=-1, x_2=-2[/tex]
[tex]d)\\\\f(x)=log_3(x^2+x+1)\\\\x^2+x+1 > 0\\\Delta=1^2-4*1*1=1-4 < 0 - \text{ brak miejsc zerowych}\\a > 0 - \text{ ramiona skierowane w gore, wykres znajduje sie ponad osia OX}\\\underline{x\in R}\\\\log_3(x^2+x+1)=0\\x^2+x+1=3^0\\x^2+x+1=1 /-1\\x^2+x=0\\\Delta=1^2-4*1*0=1^2=1\\\sqrt{\Delta}=\sqrt1=1\\x_1=\frac{-1-1}{2}=\frac{-2}2=-1\\x_2=\frac{-1+1}2=0\\\\\text{Dziedzina: } D: x\in R\\\text{Miejsca zerowe: } x_1=-1, x_2=0[/tex]
[tex]e)\\\\f(x)=log_2(x^2-5x+4)\\x^2-5x+4 > 0\\\Delta=(-5)^2-4*1*4=25-16=9\\\sqrt{\Delta}=3\\x_1=\frac{5-3}2=\frac{2}2=1\\x_2=\frac{5+3}2=\frac82=4\\a > 0 - \text{ ramiona skierowane w gore }\\\underline{x\in(-\infty; 1)\cup(4; \infty)}\\\\log_2(x^2-5x+4)=0\\x^2-5x+4=2^0\\x^2-5x+4=1 /-1\\x^2-5x+3=0\\\Delta=(-5)^2-4*1*3=25-12=13\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{13}\\x_1=\frac{5-\sqrt{13}}2\\x_2=\frac{5+\sqrt{13}}2\\\\[/tex]
[tex]\text{Dziedzina: } D: x\in (-\infty; 1)\cup(4; \infty)\\\text{Miejsca zerowe: } x_1=\frac{5-\sqrt{13}}2, x_2=\frac{5+\sqrt{13}}2[/tex]
[tex]f)\\\\f(x)=log|x^2-1|\\|x^2-1| > 0\\x^2-1 > 0 \text{ v } -(x^2-1) > 0\\x^2 > 1 \to x < -1 \text{ v } x > 1\\-x^2+1 > 0 \to x\in(-1, 1)\\\underline{x\in(-\infty; -1)\cup(-1, 1)\cup(1; \infty)}\\\\log|x^2-1|=0\\|x^2-1|=10^0\\|x^2-1|=1\\x^2-1=1 \text{ v } -(x^2-1)=1\\x^2=2 \text{ v } -x^2=0\\ \underline{x=\sqrt2 \text{ v } x=-\sqrt2 \text{ v } x=0}\\\\\text{Dziedzina: } D: x\in R \setminus \{-1, 1\}\\\text{Miejsca zerowe: } x_1=-\sqrt2, x_2=0, x_3=\sqrt2[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Dla logarytmu [tex]log_ab[/tex] zakladamy, ze:
[tex]a > 0\\b > 0\\a \neq 1[/tex]