Wykaż, na podstawie definicji, że funkcja
[tex]f(x)=\dfrac{x}{x-3}[/tex]
jest malejąca w przedziale [tex](3,\ \infty)[/tex].
Definicja monotoniczności funkcji:
Niech będzie dana funkcja f(x) oraz x₁ < x₂. Wówczas funkcja jest
Zakładamy, że x₁, x₂ ∈ (3, ∞) oraz x₁ < x₂.
Wówczas:
[tex]f(x_1)=\dfrac{x_1}{x_1-3},\ f(x_2)=\dfrac{x_2}{x_2-3}[/tex]
Sprawdzamy znak różnicy f(x₁) - f(x₂):
[tex]f(x_2)-f(x_1)=\dfrac{x_2}{x_2-3}-\dfrac{x_1}{x_1-3}=\dfrac{x_2(x_1-3)-x_2(x_1-3)}{(x_2-3)(x_1-3)}\\\\=\dfrac{x_1x_2-3x_2-x_1x_2+3x_2}{(x_2-3)(x_1-3)}=\dfrac{-3x_2+3x_1}{(x_2-3)(x_1-3)}=\dfrac{-3(x_2-x_1)}{(x_2-3)(x_1-3)}[/tex]
Jako, że x₁ < x₂, to x₂ - x₁ > 0
oraz
x₁, x₂ ∈ (3, ∞), co oznacza, że x₁ > 3 i x₂ > 3 mamy:
W liczniku:
[tex]-3(x_2-x_1) < 0[/tex]
W mianowniku:
[tex]x_2-3 > 0\\x_1-3 > 0[/tex]
stąd
[tex](x_2-3)(x_1-3) > 0[/tex]
Mamy iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią, co daje nam wynik ujemny.
[tex]f(x_2)-f(x_1) < 0\to\boxed{\text{funkcja jest malejaca}}\qquad\qquad\blacksquare[/tex]