Odpowiedź:
Ostatecznie wykazano, że lim (k → ∞) [(Uk + 1 ) / Uk ] = g = 0 < 1
to szereg jest zbieżny.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Kryterium d'Alemberta:
Jeżeli (Un + 1 ) / Un < 1 to szereg ∑ Un jest zbiezny,
jeżeli ... ⩾ 1 to szereg jest rozbieżny.
[Ta nierówność Un + 1 / Un < 1 oznacza tyle, że każdy następny wyraz
szeregu jest mniejszy od poprzedniego: Un + 1 < Un, a to dalej
oznacza, że ciąg Un jest malejący to szereg jest zbieżny]
Uk = k³/(2k)! to
(Un + 1 ) : Un = (Uk + 1 ) : Uk = [gdzie k = 1, 2, 3, .., n]
= [(k + 1)³/(2k + 1)!] : k³/(2k)! =
= [(k + 1)³/(2k + 1)!] • (2k)!/k³ = [(2k + 1)! = (2k)!(2k + 1)] to
= [(k + 1)³/(2k)!(2k + 1)] • (2k)!/k³ = [(2k)! nam się skraca] to
= [(k + 1)³/(2k + 1)] • 1/k³ =
= [(k + 1)³/k³(2k + 1)] = [(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³] to
= [(k³ + 3k² + 3k + 1)/(2k⁴ + k³)] to
(Uk + 1 )/Uk = [(k³ + 3k² + 3k + 1)/(2k⁴ + k³)]
Jako wniosek z kryterium d'Alemberta wynika następne kryterium zbieżności szeregów:
Jeżeli lim (n → ∞) [(Un + 1 ) / Un ] = g < 1 to szereg jest zbieżny.
[jeżeli = ... g > 1 ... rozbieżny, jeżeli = ... g = 1 ... przypadek jest wątpliwy, należy zastosować inne metody badania zbieżności]
To kryterium wynika też z wyżej podanego wniosku:
"a to dalej oznacza, że ciąg Un jest malejący to szereg jest zbieżny",
- bo ciąg malejący ma granicę g < 1,
to
lim (k → ∞) [(k³ + 3k² + 3k + 1)/(2k⁴ + k³)] =
[metoda: dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej naturalnej k mianownika, k⁴] to
= [(1/k + 3/k² + 3/k³ + 1/k⁴)/(2 + 1/k)] =
= [(0 + 0 + 0 + 0)/(2 + 0)] = g = 0/2 = 0.
[zawsze w takich przypadkach, gdy potęga w mianowniku jest wyższa niż w liczniku, to mianownik dąży szybciej do ∞, to g = 0]
Ostatecznie wykazano, że lim (k → ∞) [(Uk + 1 ) / Uk ] = g = 0 < 1
to szereg jest zbieżny.