Odpowiedź:
[tex]m=-\frac{14}{3}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\left \{ {{(m+3)x+y=10} \atop {-x+(m+5)y=6m+32}} \right.\\|x|=|y-6|[/tex]
Równanie z wartością bezwzględną można równoważnie zapisać tak:
[tex]x=y-6\ \vee\ x=-y+6[/tex]
Mamy zatem 2 przypadki.
Przypadek 1.
[tex]x=y-6\\\left \{ {{(m+3)(y-6)+y=10} \atop {-(y-6)+(m+5)y=6m+32}} \right.\\\left \{ {{(m+3)y-6m-18+y=10} \atop {-y+6+(m+5)y=6m+32}} \right.\\\left \{ {{(m+4)y=6m+28} \atop {(m+4)y=6m+26\ |*(-1)}} \right.\\\left \{ {{(m+4)y=6m+28} \atop {-(m+4)y=-6m-26}} \right|+\\0=2[/tex]
W tym przypadku mamy sprzeczność, więc brak rozwiązań.
Przypadek 2.
[tex]x=-y+6\\\left \{ {{(m+3)(-y+6)+y=10} \atop {-(-y+6)+(m+5)y=6m+32}} \right.\\\left \{ {{(-m-3)y+6m+18+y=10} \atop {y-6+(m+5)y=6m+32}} \right.\\\left \{ {{(-m-2)y=-6m-8} \atop {(m+6)y=6m+38}} \right|\\\left \{ {{4y=30\ |:4} \atop {(m+6)y=6m+38}} \right.\\\left \{ {{y=\frac{15}{2}} \atop {(m+6)*\frac{15}{2}=6m+38}} \right.\\\left \{ {{y=7\frac{1}{2}} \atop {\frac{15}{2}m+45=6m+38}} \right.\\\left \{ {{y=7\frac{1}{2}} \atop {\frac{3}{2}m=-7\ |*\frac{2}{3}}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=7\frac{1}{2}} \atop {m=-\frac{14}{3}}} \right.[/tex]
Doliczmy jeszcze wartość x.
[tex]x=-7\frac{1}{2}+6=-1\frac{1}{2}[/tex]
Ostatecznie warunki zadania spełnia tylko jedna wartość parametru m równa [tex]m=-\frac{14}{3}[/tex]. Dla tego parametru rozwiązaniem układu równań spełniającym jednocześnie warunek z wartością bezwzględną jest para
[tex]\left \{ {{x=-1\frac{1}{2}} \atop {y=7\frac{1}{2}}} \right.[/tex]
W załączniku ilustracja graficzna rozwiązania (linie niebieskie to zbiór punktów spełniających równość z wartością bezwzględną).
