Z3.
Przyspieszenie opisane jest funkcją:
[tex]a(t)=\gamma\, t\\\textrm{gdzie}\\\gamma=\frac{50m/s^2}{10s}=5\frac{m}{s^3}[/tex]
Na tej podstawie można wyznaczyć funkcyjną zależność prędkości oraz położenia od czasu:
[tex]V(t)=\int_{0}^t{a(t')\,dt'}=\frac{1}{2}\gamma t^2\\y(t)=\int_0^t{V(t')\, dt'}=\frac{1}{6}\gamma t^3[/tex]
zakładam przy tym, że prędkość początkowo i początkowe położenie są zerowe.
Na końcu I fazy czyli po t=10s
[tex]h_B=y(10s)=\frac{1}{6}\cdot5\frac{m}{s^3}\cdot1000s^3=\frac{2500}{3}m\\V_B=V(10s)=\frac{1}{2}\cdot5\frac{m}{s^3}\cdot100s^2=250m/s[/tex]
Daje mi to warunki początkowe dla fazy II, czyli rzutu ukośnego
[tex]x(t)=V_Bt\cos\alpha\ \Rightarrow t=\frac{x}{V_B\cos\alpha}\\y(t)=h_B+V_Bt\sin\alpha-\frac{gt^2}{2}\\y=h_B+x\tan\alpha-\frac{gx^2}{2V_B^2\cos^2\alpha}[/tex]
Maksymalna wysokość odpowiada sytuacji V=0
[tex]V_B\sin\alpha-gt=0\\t=\frac{V_B\sin\alpha}{g}\\y_{max}=h_C=h_B+\frac{V_B^2\sin^2\alpha}{g}-\frac{V_B^2\sin^2\alpha}{2g}\\h_C=h_B+\frac{V_B^2\sin^2\alpha}{2g}\\h_C=\frac{2500}{3}m+\frac{(250m/s\cdot\sqrt2/2)^2}{2\cdot9.81m/s^2}\approx2426m[/tex]
Zasięg natomiast liczę jako miejsce zerowe funkcji y(x) (dla x>0)
[tex]\Delta=\tan^2\alpha+\frac{2h_Bg}{V_B^2\cos^2\alpha}=\frac{V_B^2\sin^2\alpha+2h_Bg}{V_B^2\cos^2\alpha}\\x_1=\frac{V_B^2\cos^2\alpha\tan\alpha+V_B\cos\alpha\sqrt{V_B^2\sin^2\alpha+2h_Bg}}{g}\\x_1=\frac{V_B^2\sin(2\alpha)}{2g}+\frac{V_B\cos\alpha}{g}\sqrt{V_B^2\sin^2\alpha+2h_Bg}\\x_1=\frac{62500m^2/s^2\cdot1}{2\cdot9.81m/s^2}+\frac{250m/s\cdot\sqrt2/2}{9.81m/s^2}\cdot\sqrt{62500m^2s^2\cdot0.5+2\cdot2500m/3\cdot9.81m/s^2}\approx7117m[/tex]
Z3.
Wcale nie trzeba rozwiązywać równania ruchu tego układu. Wystarczy wykorzystać, że energia jest całką ruchu.
Na całkowitą energię składają się:
Energia kinetyczna ruchu obrotowego:
[tex]E_k=\frac{I\omega^2}{2}\\I=\frac{1}{3}mx_0^2\\E_k=\frac{mx_0^2\omega^2}{6}[/tex]
Energia sprężystości:
[tex]E_s=\frac{k(\Delta x)^2}{2}\\\Delta x=x-x_0\\x_0=2m\\\Delta x=\sqrt{2x_0^2-2x_0^2\cos(\pi-\theta)}-x_0=x_0[\sqrt{2(1+\cos\theta)}-1][/tex]
wykorzystałem tu twierdzenie cosinusów oraz to, że zarówno nierozciągnięta sprężyna, jak i pręt mają jednakową długość 2m
ostatni składnik to energia potencjalna:
[tex]E_p=-mgy=-\frac{1}{2}mgx_0\sin\theta[/tex]
Porównując energie dla stanu początkowego i końcowego
[tex]E_{k1}=0\\E_{s1}=\frac{kx_0^2(\sqrt{2(1+\cos\pi/6)}-1)^2}{2}=\frac{40N/m\cdot4m^2\cdot(\sqrt{2(1+\sqrt3/2}-1)^2}{2}\approx69.4678J\\E_{p1}=-\frac{1}{2}\cdot12kg\cdot9.81m/s^2\cdot2m\cdot\sin{\pi/6}=-58.86J\\E_1\approx10.6078J[/tex]
[tex]E_{k2}\neq0\\E_{s2}=\frac{kx_0^2(\sqrt{2(1+0)}-1)^2}{2}=\frac{40N/m\cdot4m^2\cdot(\sqrt2-1)^2}{2}\approx13.7258J\\E_{p2}=-\frac{1}{2}\cdot 12kg\cdot9.81m/s^2\cdot2m=-117.72J\\E_2\approx E_{k2}-103.994J[/tex]
[tex]E_1=E_2\\10.6078J=E_k_2-103.994J\\E_{k2}=114.602J[/tex]
[tex]\frac{mx_0^2\omega^2}{6}=114.602J\\\omega=\sqrt{\frac{6\cdot114.602J}{12kg\cdot4m^2}}\approx3.78rad/s[/tex]
pozdrawiam
