Odpowiedź :
Zadanie 5.
[tex]3^{96}+7^{98}=8^{99}[/tex]
Ponieważ liczby są bardzo duże, to kalkulator nam nie pomoże. Musimy coś "pokombinować".
Policzmy 6 pierwszych potęg dla liczb 3, 7 i 8.
[tex]3^1=3\\3^2=9\\3^3=27\\3^4=81\\3^5=243\\3^6=729\\\\7^1=7\\7^2=49\\7^3=343\\7^4=2401\\7^5=16807\\7^6=117649\\\\8^1=8\\8^2=64\\8^3=512\\8^4=4096\\8^5=32768\\8^6=262144[/tex]
Zauważmy, że dla jedności zachodzi reguła, że powtarzają się one co 4 potęgę (coś jak okresowość).
Dla 3 mamy 3, 9, 7, 1, ...
Dla 7 mamy 7, 9, 3, 1, ...
Dla 8 mamy 8, 4, 2, 6, ...
Dlatego sprawdzimy, czy w wyjściowym równaniu zgodzą się jedności.
Ponieważ 96 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 0, to cyfrą jedności liczby [tex]3^{96}[/tex] jest 1.
Ponieważ 98 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2, to cyfrą jedności liczby [tex]7^{98}[/tex] jest 9.
Ponieważ 99 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to cyfrą jedności liczby [tex]8^{99}[/tex] jest 2.
Zatem jedność dla sumy [tex]3^{96}+7^{98}[/tex] to 0, bo 1+9=10 ma jedność 0, zaś jedność dla [tex]8^{99}[/tex] to 2.
Odp: Dana równość nie jest możliwa.
Zadanie 6.
[tex]x\in\left < 0,2\pi\right > \\\sin2x * (\cos x + \frac{5}{2}) + 2\cos x\text{tg}x-\cos x * (2\cos x + 5) = 2\\2\sin x \cos x* (\cos x + \frac{5}{2}) + 2\cos x*\frac{\sin x}{\cos x}-\cos x * (2\cos x + 5) = 2\\2\sin x \cos^2 x + 5\sin x\cos x + 2\sin x-2\cos^2 x - 5\cos x-2 =0\\2\sin x \cos^2 x-2\cos^2 x + 5\sin x\cos x - 5\cos x+ 2\sin x -2 =0\\2\cos^2 x(\sin x-1) + 5\cos x (\sin x-1)+ 2(\sin x -1) =0\\(\sin x-1)(2\cos^2 x + 5\cos x + 2) =0\\\sin x-1=0\ \vee\ 2\cos^2 x + 5\cos x + 2 =0[/tex]
Rozwiązanie pierwszego równania:
[tex]\sin x-1=0\\\sin x=1\\x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}[/tex]
Ale [tex]x\in\left < 0,2\pi\right >[/tex], więc
[tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex]
Rozwiązanie drugiego równania:
[tex]2\cos^2 x + 5\cos x + 2 =0\\t=\cos x\in\left < -1,1\right > \\2t^2+5t+2=0\\\Delta=5^2-4*2*2=25-16=9\\\sqrt\Delta=\sqrt{9}=3\\t_1=\frac{-5-3}{2*2}=\frac{-8}{4}=-2\notin\left < -1,1\right > \ \text{odrzucamy}\\t_2=\frac{-5+3}{2*2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\\\cos x=-\frac{1}{2}\\x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\ \vee\ x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}[/tex]
Ale [tex]x\in\left < 0,2\pi\right >[/tex], więc
[tex]x=\frac{2\pi}{3}\ \vee\ x=\frac{4\pi}{3}[/tex]
Ostatecznie mamy rozwiązanie:
[tex]x\in\{\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\}[/tex]
Zadanie 7.
Liczba x jest dwucyfrowa, czyli jest pomiędzy 10 a 99.
Iloczyn cyfr liczby x przyjmuje wartości od 0 (dla 10, bo 1*0=0) do 81 (dla 99, bo 9*9=81).
Rozwiążmy dwie nierówności i sprawdźmy, jakie mamy możliwości wyboru dla x.
Nierówność 1:
[tex]x^2-10x-22\geq 0\\\Delta=(-10)^2-4*1*(-22)=100+88=188\\\sqrt\Delta=\sqrt{188}=\sqrt{4*47}=2\sqrt{47}\\x_1=\frac{10-2\sqrt{47}}{2}=5-\sqrt{47}\approx-1,9\\x_2=\frac{10+2\sqrt{47}}{2}=5+\sqrt{47}\approx11,9\\x\in(-\infty,5-\sqrt{47}\left > \cup\right < 5+\sqrt{47},+\infty)[/tex]
Uwzględniając to, że x ma być liczbą dwucyfrową, otrzymujemy
[tex]x\geq 12[/tex]
Nierówność 2:
[tex]x^2-10x-22\leq 81\\x^2-10x-103\leq 0\\\Delta=(-10)^2-4*1*(-103)=100+412=512\\\sqrt\Delta=\sqrt{512}=\sqrt{256*2}=16\sqrt2\\x_1=\frac{10-16\sqrt2}{2}=5-8\sqrt2\approx-6,3\\x_2=\frac{10+16\sqrt2}{2}=5+8\sqrt2\approx16,3\\x\in\left < 5-8\sqrt2,5+8\sqrt2\right >[/tex]
Uwzględniając to, że x ma być liczbą dwucyfrową, otrzymujemy
[tex]10\leq x\leq 16[/tex]
Ostatecznie z obu nierówności otrzymujemy, że jedynymi możliwościami dla x są 12, 13, 14, 15 i 16.
Sprawdźmy, które z ww. możliwości dla x spełniają warunki zadania.
[tex]x=12\\12^2-10*12-22=144-120-22=2\ \ =\ \ 1*2\\\\x=13\\13^2-10*13-22=169-130-22=17\ \ \neq \ \ 1*3\\\\x=14\\14^2-10*14-22=196-140-22=34\ \ \neq \ \ 1*4\\\\x=15\\15^2-10*15-22=225-150-22=53\ \ \neq \ \ 1*5\\\\x=16\\16^2-10*16-22=256-160-22=74\ \ \neq \ \ 1*6[/tex]
Odp: Szukana liczba to 12.
