Trygonometria - zależności między funkcjami trygonometrycznymi.
[tex]a)\\\sin12^o\cos78^o+\cos12^o\sin78^o[/tex]
Możemy zauważyć, że jest to rozwinięcie wzoru sinusa sumy kątów:
[tex]\sin(x+y)\sin x\cos y+\cos x\sin y[/tex]
W związku z tym:
[tex]\sin12^o\cos78^o+\cos12^o\sin78^o=\sin(12^o+78^o)=\sin90^o=1[/tex]
[tex]b)\\\dfrac{1}{2}\text{tg}25^o\text{tg}65^o+(1-\sin40^o)(1+\sin40^o)-\sin^250^o\\\\=\dfrac{1}{2}\text{tg}25^o\text{tg}65^o+(1^2-\sin^240^o)-\sin^250^o[/tex]
Skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia: a² - b² = (a - b)(a + b)
Teraz skorzystamy z tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\sin^2x+\cos^2x=1\to\cos^2x=1-\sin^2x[/tex]
[tex]=\dfrac{1}{2}\text{tg}25^o\text{tg}65^o-\cos^240^o-\sin^250^o[/tex]
Następnie skorzystamy z tego, że jeżeli α ∈ (0°, 90°), to:
[tex]\sin\alpha=\cos(90^o-\alpha)\\\cos\alpha=\sin(90^o-\alpha)\\\text{tg}\alpha=\text{ctg}(90^o-\alpha)\\\text{ctg}\alpha=\text{tg}(90^o-\alpha)[/tex]
[tex]=\dfrac{1}{2}\text{ctg}(90^o-25^o)\text{tg}65^o+\sin^2(90^o-40^o)-\sin^250^o\\\\=\dfrac{1}{2}\text{ctg}65^o\text{tg}65^o+\sin^250^o-\sin^250^o[/tex]
Skorzystamy z tożsamości trygonometrycznej:
[tex]\text{tg}x\cdot \text{ctg}x=1[/tex]
[tex]=\dfrac{1}{2}\cdot1+0=\dfrac{1}{2}[/tex]
Ostatecznie:
1/2tg25°tg65° + (1 - sin40°)(1 + sin40°) - sin²50° = 1/2
