[tex]x^2-(m+1)x-\frac{(m+1)^2}4-m+3=0\\a=1\\b=-(m+1)=-m-1\\c=-\frac{(m+1)^2}4-m+3=\frac{-(m^2+2m+1)}4-m+3=\frac{-m^2-2m-1-4m+12}4=\frac{-m^2-6m+11}4=-\frac{m^2+6m-11}4[/tex]
[tex]\Delta=b^2-4ac \to (-m-1)^2-4*1*(-\frac{m^2+6m-11}4)=m^2+2m+1+m^2+6m-11=2m^2+8m-10\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{2(m-1)(m+5)}\\x_1=\frac{m+1-\sqrt{2(m-1)(m+5)}}2\\x_2=\frac{m+1+\sqrt{2(m-1)(m+5)}}2\\\\|x_1-x_2|=4\sqrt2\\|\frac{m+1-\sqrt{2(m-1)(m+5)}}2-\frac{m+1+\sqrt{2(m-1)(m+5)}}2|=4\sqrt2\\|\frac{m+1-\sqrt{2(m-1)(m+5)}-(m+1+\sqrt{2(m-1)(m+5)}}2|=4\sqrt2\\|\frac{m+1-\sqrt{2(m-1)(m+5)}-m-1-\sqrt{2(m-1)(m+5)}}2|=4\sqrt2\\[/tex]
[tex]|\frac{-2\sqrt{2(m-1)(m+5)}}2|=4\sqrt2\\|-\sqrt{2(m-1)(m+5)}|=4\sqrt2\\\sqrt{2(m-1)(m+5)}=\sqrt{4*4*2}\\2(m-1)(m+5)=32\\2(m^2+5m-m-5)-32=0\\2m^2+8m-10-32=0\\2m^2+8m-42=0\\\Delta=8^2-4*2*(-42)=64+336=400\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{400}=\sqrt{4*100}=2*10=20\\m_1=\frac{-8-20}{4}=\frac{-28}4=-7\\m_2=\frac{-8+20}4=\frac{12}4=3\\[/tex]
Odp. Rownanie spelnia warunek dla m=-7 lub m=3
Sprawdzenie:
1. Dla m=-7
[tex]x^2-(-7+1)x-\frac{(-7+1)^2}4-(-7)+4-1=0\\x^2+6x-\frac{36}4+7+3=0\\x^2+6x-9+10=0\\x^2+6x+1=0\\\\\Delta=6^2-4*1*1=36-4=32\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{32}=4\sqrt2\\\\x_1=\frac{-6-4\sqrt2}2=\frac{2(-3-2\sqrt2)}2=-3-2\sqrt2\\x_2=\frac{-6+4\sqrt2}2=\frac{2(-3+2\sqrt2)}2=-3+2\sqrt2\\\\|x_1-x_2|=|-3-2\sqrt2-(-3+2\sqrt2)|=|-3-2\sqrt2+3-2\sqrt2|=|-4\sqrt2|=4\sqrt2[/tex]
2. Dla m=3
[tex]x^2-(3+1)x-\frac{(3+1)^2}4-3+4-1=0\\x^2-4x-\frac{16}4-3+3=0\\x^2-4x-4=0\\\\\Delta=(-4)^2-4*1*(-4)=16+16=32\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{32}=4\sqrt2\\x_1=\frac{4-4\sqrt2}2=\frac{2(2-2\sqrt2)}2=2-2\sqrt2\\x_2=\frac{4+4\sqrt2}2=2+2\sqrt2\\\\|x_1-x_2|=|2-2\sqrt2-(2+2\sqrt2)|=|2-2\sqrt2-2-2\sqrt2|=|-4\sqrt2|=4\sqrt2[/tex]