Odpowiedź:
[tex]\frac{1}{16}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Krok 1.
Przedstawienie wszystkich potęg w postaci [tex]b*a^n[/tex].
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{2^{3n+2}+6^{n-2}+3}{8^{n+2}+4^{n-1}+2^{2n+3}}= \lim_{n \to \infty} \frac{2^2*2^{3n}+6^{-2}*6^n+3}{8^2*8^n+4^{-1}*4^n+2^3*2^{2n}}= \lim_{n \to \infty} \frac{4*8^{n}+\frac{1}{36}*6^n+3}{64*8^n+\frac{1}{4}*4^n+8*4^{n}}[/tex]Krok 2.
Wyłączenie z licznika i mianownika najwyższej potęgi.
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{4*8^{n}+\frac{1}{36}*6^n+3}{64*8^n+\frac{1}{4}*4^n+8*4^{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{8^n(4+\frac{1}{36}*(\frac{6}{8})^n+\frac{3}{8^n})}{8^n(64+\frac{1}{4}*(\frac{4}{8})^n+8*(\frac{4}{8})^{n})}=\lim_{n \to \infty} \frac{4+\frac{1}{36}*(\frac{6}{8})^n+\frac{3}{8^n}}{64+\frac{1}{4}*(\frac{4}{8})^n+8*(\frac{4}{8})^{n}}[/tex]Krok 3.
Obliczamy granicę.
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{4+\frac{1}{36}*(\frac{6}{8})^n+\frac{3}{8^n}}{64+\frac{1}{4}*(\frac{4}{8})^n+8*(\frac{4}{8})^{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{4+\frac{1}{36}*\overbrace{\left(\frac{6}{8}\right)^n}^{\rightarrow0}+\overbrace{\frac{3}{8^n}}^{\rightarrow0}}{64+\frac{1}{4}*\underbrace{\left(\frac{4}{8}\right)^{n}}_{\rightarrow0}+8*\underbrace{\left(\frac{4}{8}\right)^{n}}_{\rightarrow0}}=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}[/tex]
