[tex]|16-x^2|=(m-4)^2-9,\qquad m\in\mathbb{R}[/tex]
Spójrzmy na wykres funkcji [tex]f(x)=|16-x^2|[/tex] (w załączeniu).
Można zauważyć, że równanie
[tex]|16-x^2|=p[/tex]
ma:
- 0 rozwiązań dla [tex]p < 0[/tex]
- 2 rozwiązania dla [tex]p > 16\vee p=0[/tex]
- 3 rozwiązania dla [tex]p=16[/tex]
- 4 rozwiązania dla [tex]0 < p < 16[/tex]
a)
Zatem aby równanie
[tex]|16-x^2|=(m-4)^2-9[/tex]
miało 2 różne rozwiązania, musi być spełniony warunek
[tex](m-4)^2-9 > 16\ \vee\ (m-4)^2-9=0[/tex]
Rozwiązanie nierówności:
[tex](m-4)^2-9 > 16\\(m-4)^2-25 > 0\\(m-4-5)(m-4+5) > 0\\(m-9)(m+1) > 0\\m\in(-\infty,-1)\cup(9,+\infty)[/tex]
Rozwiązanie równania:
[tex](m-4)^2-9=0\\(m-4-3)(m-4+3)=0\\(m-7)(m-1)=0\\m=7\vee m=1\\m\in\{1,7\}[/tex]
Ostatecznie wyjściowe równanie ma 2 różne rozwiązania dla
[tex]m\in(-\infty,-1)\cup\{1,7\}\cup(9,+\infty)[/tex]
b) i c)
Aby równanie
[tex]|16-x^2|=(m-4)^2-9[/tex]
miało dokładnie 3 rozwiązania, musi być spełniony warunek
[tex](m-4)^2-9=16\\(m-4)^2-25=0\\(m-4-5)(m-4+5)=0\\(m-9)(m+1)=0\\m=9\vee m=-1\\m\in\{-1,9\}[/tex]
Zatem:
- najmniejsze możliwe m, dla którego równanie ma dokładnie 3 rozwiązania: -1
- największe możliwe m, dla którego równanie ma dokładnie 3 rozwiązania: 9
