Odpowiedź :
Zadanie 1.
a)
[tex]A(x_1,y_1)\qquad B(x_2,y_2)\qquad S(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})\\\\\overrightarrow{AS}=\left[\frac{x_1+x_2}{2}-x_1,\frac{y_1+y_2}{2}-y_1\right]=\left[\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{2x_1}{2},\frac{y_1+y_2}{2}-\frac{2y_1}{2}\right]=\left[\frac{x_2-x_1}{2},\frac{y_2-y_1}{2}\right]\\\\\overrightarrow{SB}=\left[x_2-\frac{x_1+x_2}{2},y_2-\frac{y_1+y_2}{2}\right]=\left[\frac{2x_2}{2}-\frac{x_1+x_2}{2},\frac{2y_2}{2}-\frac{y_1+y_2}{2}\right]=\left[\frac{x_2-x_1}{2},\frac{y_2-y_1}{2}\right][/tex]
[tex]\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}[x_2-x_1,y_2-y_1]=[\frac{1}{2}(x_2-x_1),\frac{1}{2}(y_2-y_1)]=\left[\frac{x_2-x_1}{2},\frac{y_2-y_1}{2}\right][/tex]
Wniosek:
[tex]\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{SB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}[/tex]
b)
[tex]A(-3,7)\qquad B(9,-11)\\\overrightarrow{AB}=[9-(-3),-11-7]=[12,-18]\\\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}*[12,-18]=[6,-9]\\S_{AB}=\left(\frac{-3+9}{2},\frac{7-11}{2}\right)=\left(\frac{6}{2},\frac{-4}{2}\right)=(3,-2)[/tex]
Zadanie 2.
Aby wyznaczyć współrzędne punktu P, należy do współrzędnych punktu A dodać współrzędne wektora [tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}[/tex].
Aby wyznaczyć współrzędne punktu Q, należy do współrzędnych punktu P dodać współrzędne wektora [tex]\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}[/tex].
a)
[tex]A(-3,-2)\qquad B(3,1)\\\overrightarrow{AB}=[3-(-3),1-(-2)]=[6,3]\\\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}*[6,3]=[2,1]\\P=(-3+2,-2+1)=(-1,-1)\\Q=(-1+2,-1+1)=(1,0)[/tex]
b)
[tex]A(-10,6)\qquad B(8,-6)\\\overrightarrow{AB}=[8-(-10),-6-6]=[18,-12]\\\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}*[18,-12]=[6,-4]\\P=(-10+6,6-4)=(-4,2)\\Q=(-4+6,2-4)=(2,-2)[/tex]
c)
[tex]A(1,-1)\qquad B(2,1)\\\overrightarrow{AB}=[2-1,1-(-1)]=[1,2]\\\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}*[1,2]=[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]\\P=(1+\frac{1}{3},-1+\frac{2}{3})=(1\frac{1}{3},-\frac{1}{3})\\Q=(1\frac{1}{3}+\frac{1}{3},-\frac{1}{3}+\frac{2}{3})=(1\frac{2}{3},\frac{1}{3})[/tex]
