Mamy uzasadnić, że dla każdej liczby naturalnej [tex]n[/tex] wartość wyrażenia
[tex]\dfrac{n^5}{5}+\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{7n}{15}[/tex]
przyjmuje wartość naturalną.
Na początku przekształćmy dane wyrażenie:
[tex]\dfrac{n^5}{5}+\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{7n}{15}=\dfrac{3n^5+5n^3+7n}{15}[/tex]
Sprawdzamy prawdziwość zdania dla [tex]n=0\ \text{i}\ n=1[/tex]:
[tex]\dfrac{3\cdot0^5+5\cdot0^3+7\cdot0}{15}=\dfrac{0}{15}=0\in\mathbb{N}\\\\\dfrac{3\cdot1^5+5\cdot1^3+7\cdot1}{15}=\dfrac{3+5+7}{15}=\dfrac{15}{15}=1\in\mathbb{N}[/tex]
Czyli dla [tex]n=0\ \text{i}\ n=1[/tex] zdanie jest prawdziwe.
[tex]\dfrac{3k^5+5k^3+7k}{15}\in\mathbb{N}\ \text{dla}\ k\in\mathbb{N}[/tex]
[tex]\dfrac{3(k+1)^5+5(k+1)^3+7(k+1)}{15}\in\mathbb{N},\ \text{dla}\ k\in\mathbb{N}[/tex]
[tex]\dfrac{3(k+1)^5+5(k+1)^3+7(k+1)}{15}[/tex]
Skorzystamy z dwóch wzorów skróconego mnożenia (przy piątej potędze skorzystamy z trójkąta Pascala).
[tex](a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\\\\(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/tex]
[tex]=\dfrac{3(k^5+5k^4\cdot1+10k^3\cdot1^2+10k^2\cdot1^3+5k\cdot1^4+1^5)}{15}\\\\\dfrac{+5(k^3+3k^2\cdot1+3k\cdot1^2+1^3)+7k+7}{15}\\\\=\dfrac{3k^5+15k^4+30k^3+30k^2+15k+3+5k^3+15k^2+15k+5+7k+7}{15}\\\\=\dfrac{3k^5+5k^3+7k}{15}+\dfrac{15k^4+30k^3+45k^2+30k+15}{15}\\\\=\dfrac{3k^5+5k^3+7k}{15}+\dfrac{15(k^4+2k^3+3k^2+2k+1)}{15}\\\\=\dfrac{3k^5+5k^3+7k}{15}+(k^4+2k^3+3k^2+2k+1)[/tex]
Z założenia mamy, że:
[tex]\dfrac{3k^5+5k^3+7k}{15}\in\mathbb{N}[/tex]
oraz mamy, że:
[tex]k\in\mathbb{N}\Rightarrow\ (k^4+2k^3+3k^2+2k+1)\in\mathbb{N}[/tex].
Suma liczb naturalnych jest liczbą naturalną.
Stąd
[tex]\forall\limits_n\in\mathbb{N}\left[\left(\dfrac{n^5}{5}+\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{7n}{15}\right)\in\mathbb{N}\right]\\\\.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare[/tex]