Równania i nierówności sprzeczne i tożsamościowe.
Kiedy x należy do zbioru pustego a kiedy x należy do zbioru liczb rzeczywistych?
To pytanie można zapisać inaczej:
Kiedy x należy do zbioru pustego - Kiedy równanie/nierówność jest sprzeczne/sprzeczna?
Kiedy x należy do zbioru liczb rzeczywistych - Kiedy równanie/nierówność jest tożsamościowe/tożsamościowa?
Czyli już wiemy jak nazywają się takie równania/nierówności.
Ale co to oznacza?
Równanie/nierówność sprzeczna to takie/a równanie/nierówność, które/ą nie spełnia żadna liczba rzeczywista.
Przykłady:
x = x + 1
Nie istnieje taka liczba rzeczywista, która powiększona o 1 da tą samą liczbę.
Rozwiązując to równanie otrzymujemy sprzeczność:
x = x + 1 |-x
0 = 1 fałsz
x² = -2
Nie istnieje taka liczba rzeczywista, której kwadrat daje liczbę ujemną.
x² < 0
Nie istnieje taka liczba rzeczywista, której kwadrat daje liczbę ujemną.
x < x - 1
Nie istnieje taka liczba rzeczywista, która pomniejszona o 1 da liczbę większą od poprzedniej.
Rozwiązując tą nierówność otrzymamy nierówność sprzeczną:
x < x - 1 |-x
0 < -1 fałsz
Rozwiązanie zapisujemy: x ∈ ∅
Równanie/nierówność tożsamościowa, to równanie/nierówność, które/ą spełnia każda liczba rzeczywista.
Przykłady:
x + 1 = x + 1
Mamy te same wyrażenia po obu stronach równania
2x = 2(x - 1) + 2
Rozwiązując otrzymujemy równanie prawdziwe bez niewiadomej:
2x = 2x - 2 + 2 |-2x
0 = 0 prawda
x² ≥ 0
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej daje liczbę nieujemną.
x + 1 > x
Każda liczba rzeczywista powiększona o 1 daje liczbę większą.
Rozwiązując tą nierówność otrzymujemy równość prawdziwą bez niewiadomej:
x + 1 > x |-x
1 > 0 prawda
Zbiór rozwiązań zapisujemy: x ∈ R
