Odpowiedź:
[tex]a_n = \frac{n^2 + 2}{2 n^2 + 1}[/tex] = [tex]\frac{1 +\frac{2}{n^2} }{2 + \frac{1}{n^2} }[/tex]
więc
lim [tex]a_n = \frac{1 + 0}{2 + 0}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}[/tex]
n-->∞
Szczegółowe wyjaśnienie:
Mamy obliczyć granicę ciągu:
[tex]a_n=\dfrac{n^2+2}{2n^2+1}[/tex]
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2+2}{2n^2+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2\left(1+\frac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+\frac{2}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}[/tex]
Jako, że:
[tex]\dfrac{1}{n^2}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\\dfrac{2}{n^2}\xrightarrow{n\to\infty}0[/tex]
otrzymujemy
[tex]=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}[/tex]
Ostatecznie:
[tex]\huge\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2+2}{2n^2+1}=\dfrac{1}{2}}[/tex]
Łatwo można określić granicę takich ciągów nie obliczając ich.
Jeżeli w liczniku mamy większą potęgę niż mianowniku, to granica takiego ciągu jest niewłaściwa i wynosi [tex]\pm\infty[/tex] (w zależności od znaku liczby przy największej potędze).
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{an^k+a_1n^{k-1}+...}{bn^m+b_1n^{m-1}+...}=-\infty\ \text{gdy}\ a < 0\ \wedge\ k > m\\\\\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{an^k+a_1n^{k-1}+...}{bn^m+b_1n^{m-1}+...}=\infty\ \text{gdy}\ a > 0\ \wedge\ k > m[/tex]
Jeżeli w mianowniku jest większa potęga niż w liczniku, to granica takiego ciągu wynosi 0.
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{an^k+a_1n^{k-1}+...}{bn^m+b_1n^{m-1}+...}=0\ \text{gdy}\ m > k[/tex]
Jeżeli w liczniku i mianowniku mamy taką samą największą potęgę, to granica jest równa ilorazowi czynnika z licznika przy najwyższej potędze i czynnika z mianownika przy najwyższej potędze:
[tex]\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{an^k+a_1n^{k-1}+...}{bn^k+b_1n^{k-1}+...}=\dfrac{a}{b}[/tex]