Wyrażenia algebraiczne. Wzory skróconego mnożenia.
Zad. 9 a) Oblicz wartość liczbową wyrażenia algebraicznego
[tex](2x+3y)(2x-3y)-(2x-3y)^2\qquad\text{dla}\ x=\sqrt{\sqrt{10}-3},\ y=\sqrt{\sqrt{10}+3}[/tex]
Na początku uprośćmy nasze wyrażenie. Możemy wykonać to na dwa różne sposoby:
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:
(a + b)(a - b) = a² - b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
[tex](2x+3y)(2x-3y)-(2x-3y)^2=(2x)^2-(3y)^2-[(2x)^2-2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2]\\\\=4x^2-9y^2-4x^2+12xy-9y^2=12xy-18y^2[/tex]
lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias:
[tex](2x+3y)(2x-3y)-(2x-3y)^2=(2x-3y)[2x+3y-(2x-3y)]\\\\=(2x-3y)(2x+3y-2x+3y)=(2x-3y)\cdot6y=12xy-18y^2[/tex]
Podstawiamy wartości x i y:
[tex]12\cdot\sqrt{\sqrt{10}-3}\cdot\sqrt{\sqrt{10}+3}-18\cdot\left(\sqrt{\sqrt{10}+3}\right)^2[/tex]
Skorzystamy z twierdzeń:
√(a · b) = √a · √b
(√a)² = a
dla a, b ≥ 0
[tex]=12\sqrt{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}-18\cdot(\sqrt{10}+3)[/tex]
skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
(a + b)(a - b) = a² - b²
[tex]=12\sqrt{(\sqrt{10})^2-3^2}-18\sqrt{10}-54=12\sqrt{10-9}-18\sqrt{10}-54\\\\=12\sqrt1-18\sqrt{10}-54=12-18\sqrt{10}-54=-42-18\sqrt{10}[/tex]
Ostatecznie:
[tex]\huge\boxed{-42-18\sqrt{10}=-6(7+3\sqrt{10})}[/tex]
Zad.11 a) Mamy wykazać, że
[tex]\text{jezeli}\ c\neq0\ \text{i}\ (a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab,\ \text{to}\ a=-b[/tex]
Rozwińmy lewą stronę równania korzystając ze wzoru:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
[tex]a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2+2ab[/tex]
redukujemy te same wyrazy po obu stronach równania
[tex]-2ac-2bc=0\qquad|+2bc\\\\-2ac=2bc\qquad|:(-2c)\neq0\\\\a=-b\\\\.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare[/tex]
