Geometria analityczna. Długość odcinka.
Dane są współrzędne wierzchołków czworokąta ABCD. Mamy obliczyć jego obwód.
Wiemy, że obwód wielokąta, to suma długości wszystkich boków tej figury.
Długość odcinka możemy obliczyć korzystając z:
- Twierdzenia Pitagorasa budując na bokach czworokąta trójkąty prostokątne.
- Gotowego wzoru na długość odcinka wyprowadzonego z twierdzenia Pitagorasa.
Na etapie szkoły podstawowej pierwszy sposób jest dozwolony, chociaż nie jest uniwersalny.
Na etapie szkoły ponadpodstawowej i studiów, odczytywanie danych z rysunku w układzie współrzędnych przeważnie nie jest dopuszczalne.
Niezależnie od metody rozwiązania, zadanie zaczynamy od rysunku poglądowego sprawdzając, czy ABCD są kolejnymi wierzchołkami czworokąta.
Metoda 1.
Twierdzenie Pitagorasa mówi nam, że suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
a² + b² = c²
a, b - długości przyprostokątnych
c - długości przeciwprostokątnej
Dorysowujemy odcinki do boków czworokąta, budując trójkąty prostokątne.
Widzimy, że otrzymujemy dwie pary przystających trójkątów. W związku z tym wystarczy obliczyć długości dwóch boków.
[tex]a=b=3\\\\c^2=3^2+3^2\\c^2=9+9\\c^2=9\cdot2\\c=\sqrt{9\cdot2}\\c=\sqrt9\cdot\sqrt2\\\boxed{c=3\sqrt2}\\----------\\a=3,\ b=4\\\\c^2=3^2+4^2\\c^2=9+16\\c^2=25\\c=\sqrt{25}\\\boxed{c=5}[/tex]
Obliczamy obwód czworokąta:
[tex]L=2\cdot3\sqrt2+2\cdot5\\\\\huge\boxed{L=10+6\sqrt2}[/tex]
Metoda 2.
Długość odcinka AB:
[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
Podstawiamy współrzędne końców boków czworokąta i obliczamy ich długości:
[tex]A(-5,\ 1),\ B(-2,\ -3)\\\\|AB|=\sqrt{(-2-(-5))^2+(-3-1)^2}=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\\\A(-5,\ 1),\ D(-2,\ 4)\\\\|AD|=\sqrt{(-2-(-5))^2+(4-1)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2\\\\B(-2,\ -3),\ C(1,\ 1)\\\\|BC|=\sqrt{(1-(-2))^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\\\C(1,\ 1),\ D(-2,\ 4)\\\\|CD|=\sqrt{(-2-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2[/tex]
Obliczamy obwód czworokąta:
[tex]L=5+3\sqrt2+5+3\sqrt3\\\\\huge\boxed{L=10+6\sqrt2}[/tex]
