Jednomian - Wyrażenie algebraiczne, które zawiera liczby zmienne, ich potęgi i iloczyny, nazywamy jednomianami. Np. 2·x; 5·x² są jednomianami, natomiast x+y; 2ab:x nie są jednomianami.
Jeżeli w jednomianie występuje jeden czynnik liczbowy, to nazywamy go współczynnikiem jednomianu. Np. 3·x²y³, to współczynnik jednomianu = 3.
Przyjmujemy następujące umowy:
(1) znaku mnożenia stojącego przed literą lub nawiasem nie piszemy, np. zamiast 3·x² piszemy jako 3x².
(2) współczynnika 1 też nie piszemy np. 1·x² piszemy jako x².
Suma algebraiczna - Wyrażenie, które jest sumą lub różnicą kilku jednomianów nazywamy sumą algebraiczną, a jednomiany występujące w tej sumie - wyrazami sumy.
Np. suma algebraiczna: 3x²y + (-2)xy - 4y²+ x²y,
wyrazy podobne: 3x²y i x²y; (-2)xy; -4y²
Wyrazy podobne - mówiąc w skrócie to takie, które mają takie same literki podniesione do tej samej potęgi. Jeśli występują w jednomianach pierwiastki to też muszą być z tej samej liczby i tego samego stopnia. Jednomiany podobne mogą różnić się znakiem i liczbą stojącą przed symbolami.
Wyrażenia algebraiczne - Wyrażenia zbudowane z liczb, liter (oznaczających liczby), znaków działań i nawiasów nazywamy wyrażeniami algebraicznymi. Np. x+5; 2:(a-b); x²-y²; (a+b)(a-b) są wyrażeniami algebraicznymi.
1. Uporządkuj wielomiany.
Mówimy, że wielomian jest w postaci uporządkowanej (jest wielomianem uporządkowanym) jeśli wyrazy wielomianu są ułożone zgodnie z malejącymi wykładnikami potęg liczb.
[tex]a) \ 3xyxyyx = 3\cdot x\cdot x\cdot x\cdot y\cdot y\cdot y = \boxed{3x^{3}y^{3}}\\\\b) \ -2a^{2}b\cdot(-5ab)^{2} = -2a^{2}b\cdot25a^{2}b^{2} =\boxed{ -50a^{4}b^{3}}[/tex]
[tex]c) \ \frac{6x^{5}y^{7}}{-3x^{2}y} = -2x^{5-2}\cdot y^{7-1} =\boxed{-2x^{3}y^{6}}[/tex]
Skorzystaliśmy z własności potęgowania:
Iloczyn potęg o tej samej podstawie a jest równy potędze o podstawie a i wykładniku równym sumie wykładników n i m poszczególnych czynników:
[tex]a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}, \ \ \ \ a\in R, \ m,n \in R[/tex]
Iloraz potęg o tej samej podstawie a, różnej od zera jest równy różnicy wykładników dzielnej i dzielnika:
[tex]a^{m}:b^{n} = a^{m-n}, \ \ \ \ m > n, \ n\in N, \ a\neq 0[/tex]
2. Opuść nawiasy i wykonaj działanie.
Usuwanie nawiasów jest dość proste. Jeśli przed nawiasem jest znak „-", wówczas zmieniasz znaki wewnątrz nawiasów na przeciwne. Jeśli przed nawiasem jest znak „+”, wówczas opuszczasz nawiasy bez zmiany znaków.
Po usunięciu nawiasów zazwyczaj należy wykonać redukcję wyrazów podobnych. Najlepiej to zrobić przez podkreślenie wyrazów podobnych w ten sam sposób. Taka metoda jest pomocna i chroni przed pomyłkowym pominięciem określonego wyrażenia algebraicznego.
[tex]a) \ (5x-3z+2y) + (3y-2z-9x) = 5x-3z+2y+3y-2z-9x =\\\\= 5x-9x+2y+3y-3z-2z=\boxed{-4x+5y-5z}[/tex]
