Wierzchołki trójkątów mają współrzędne: a) [tex](3,3);(-1,7);(-1,-1)[/tex], b) [tex](5,-3);(2,6);(-4,-3)[/tex], c) [tex](1,-4);(5,4);(-3,0)[/tex].
Układy równań
Układem równań nazywamy połączenie co najmniej dwóch równań. Oczywiście w układzie równań możemy mieć ich więcej.
Przy układzie dwóch równań najczęściej mamy niewiadome x i y.
W danym układzie równań możemy mieć tyle samo niewiadomych, co równań, lub więcej.
Układ równań możemy rozwiązywać za pomocą metody podstawiania. Dla przykładu weźmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Metoda ta polega na tym, że w jednym z równań wyznaczamy jedną niewiadomą za pomocą drugiej i podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania za tę niewiadomą. Wtedy dostaniemy równania z jedną niewiadomą, rozwiązujemy je i dostaniemy wartość jednej z niewiadomych. Wracamy do pierwszego równania, podstawiamy wartość wyliczonej już niewiadomej i dostaniemy wartość drugiej niewiadomej. Otrzymana para liczb jest rozwiązaniem układu równań.
Układy nierówności
Układ nierówności jest bardzo podobny do układu równań z tą różnicą, że zamiast znaków równości mamy znaki nierówności. Za pomocą takiego układu możemy opisać różne figury na płaszczyźnie.
Jedna nierówność opisuje nam półpłaszczyznę.
Układ trzech nierówności może opisywać trójkąt na płaszczyźnie.
Układ czterech nierówności może opisywać czworokąt itd.
a) Mamy układ nierówności:
[tex]\left \{ {{y-x \ge 0} \atop {y+x \le 6}} \atop {x+1 \ge 0}} \right.[/tex]
Zapiszmy go następująco:
[tex]\left \{ {{y \ge x} \atop {y \le -x+6}} \atop {x \ge -1} \right.[/tex]
Układ tych trzech nierówności opisuje nam trzy półpłaszczyzny, ich część wspólna jest trójkątem (rysunek z załączniku).
Aby wyznaczyć jego wierzchołki, należy rozwiązać trzy układy równań. Ułożymy je, łącząc ze sobą w pary kolejne nierówności i zamieniając znaki nierówności na znaki równości. Mamy kolejno:
[tex]\left \{ {{y=x} \atop {y=-x+6}} \right. \\\left \{ {{y=x} \atop {x=-x+6/+x}} \right. \\\left \{ {{y=x} \atop {2x=6/:2}} \right. \\\left \{ {{y=x} \atop {x=3}} \right. \\\left \{ {{y=3} \atop {x=3}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=x} \atop {x=-1}} \right. \\\left \{ {{y=-1} \atop {x=-1}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=-x+6} \atop {x=-1}} \right. \\\left \{ {{y=1+6} \atop {x=-1}} \right. \\\left \{ {{y=7} \atop {x=-1}} \right.[/tex]
Wierzchołki trójkąta to punkty: [tex](3,3);(-1,-1);(-1,7)[/tex].
b) Mamy układ nierówności:
[tex]\left \{ {{3x+y-12 \le 0} \atop {3x-2y+6 \ge 0}} \atop {y+3 \ge 0}} \right.[/tex]
Zapiszmy go następująco:
[tex]\left \{ {{y \le -3x+12} \atop {y \le \frac32 x+3}} \atop {y \ge -3} \right.[/tex]
Układ tych trzech nierówności opisuje nam trzy półpłaszczyzny, ich część wspólna jest trójkątem (rysunek z załączniku).
Aby wyznaczyć jego wierzchołki, należy rozwiązać trzy układy równań. Ułożymy je, łącząc ze sobą w pary kolejne nierówności i zamieniając znaki nierówności na znaki równości. Mamy kolejno:
[tex]\left \{ {{y=-3x+12} \atop {y=\frac32 x+3}} \right. \\\left \{ {{y=-3x+12} \atop {-3x+12=\frac32 x+3/-3}} \right. \\\left \{ {{y=-3x+12} \atop {-3x+9=\frac32x/*2}} \right. \\\left \{ {{y=-3x+12} \atop {-6x+18=3x/-3x-18}} \right. \\\left \{ {{y=-3x+12} \atop {-9x=-18/:(-9)}} \right.\\\left \{ {{y=-3x+12} \atop {x=2}} \right. \\\left \{ {{y=-6+12} \atop {x=2}} \right. \\\left \{ {{y=6} \atop {x=2}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=-3x+12} \atop {y=-3}} \right. \\\left \{ {{-3=-3x+12/+3x+3} \atop {y=-3}} \right.\\\left \{ {{3x=15/:3} \atop {y=-3}} \right. \\\left \{ {{x=5} \atop {y=-3}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=\frac32x+3} \atop {y=-3}} \right. \\\left \{ {{-3=\frac32x+3/*2} \atop {y=-3}} \right. \\\left \{ {{-6=3x+6/-3x+6} \atop {y=-3}} \right.\\\left \{ {{-3x=12/:(-3)} \atop {y=-3}} \right. \\\left \{ {{x=-4} \atop {y=-3}} \right.[/tex]
Wierzchołki trójkąta to punkty: [tex](2,6);(5;-3);(-4,-3)[/tex].
c) Mamy układ nierówności:
[tex]\left \{ {{x+y+3 \ge 0} \atop {2x-y-6 \le 0}} \atop {x-2y+3 \ge 0}} \right.[/tex]
Zapiszmy go następująco:
[tex]\left \{ {{y \ge -x-3} \atop {y \ge 2x-6}} \atop {x \le \frac{x}2+\frac32} \right.[/tex]
Układ tych trzech nierówności opisuje nam trzy półpłaszczyzny, ich część wspólna jest trójkątem (rysunek z załączniku).
Aby wyznaczyć jego wierzchołki, należy rozwiązać trzy układy równań. Ułożymy je, łącząc ze sobą w pary kolejne nierówności i zamieniając znaki nierówności na znaki równości. Mamy kolejno:
[tex]\left \{ {{y=-x-3} \atop {y=2x-6}} \right. \\\left \{ {{2x-6=-x-3/+x+6} \atop {y=2x-6}} \right. \\\left \{ {{3x=3/:3} \atop {y=2x-6}} \right. \\\left \{ {{x=1} \atop {y=2*1-6}} \right. \\\left \{ {{x=1} \atop {y=-4}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=-x-3} \atop {y=\frac{x}2+\frac32}} \right. \\\left \{ {{\frac{x}2+\frac32=-x-3/*2} \atop {y=\frac{x}2+\frac32}} \right.\\\left \{ {{x+3=-2x-6/+2x-3} \atop {y=\frac{x}2+\frac32}} \right. \\\left \{ {{3x=-9/:3} \atop {y=\frac{x}2+\frac32}} \right. \\\left \{ {{x=-3} \atop {y=-\frac32+\frac32}} \right. \\\left \{ {{x=-3} \atop {y=0}} \right.[/tex]
[tex]\left \{ {{y=2x-6} \atop {y=\frac{x}2+\frac32}} \right. \\\left \{ {{\frac{x}2+\frac32=2x-6/*2} \atop {y=\frac{x}2+\frac32}} \right. \\\left \{ {{x+3=4x-12/-4x-3} \atop {y=\frac{x}2+\frac32}} \right.\\\left \{ {{-3x=-15/:(-3)} \atop {y=\frac{x}2+\frac32}} \right. \\\left \{ {{x=5} \atop {y=\frac52+\frac32}} \right. \\\left \{ {{x=5} \atop {y=\frac82}} \right. \\\left \{ {{x=5} \atop {y=4}} \right.[/tex]
Wierzchołki trójkąta to punkty: [tex](1,-4);(-3,0);(5,4)[/tex].
