Odpowiedź:
[tex]\boxed{a)~~x=\{3,4,5,6,7,8\}}[/tex] , jest 6 liczb naturalnych.
[tex]\boxed{b)~~x=\{2,3,4\} }[/tex], są 3 liczby naturalne.
[tex]\boxed{c)~~x=\{4,5,6,7,...,29,30,31\}}[/tex], jest 28 liczb naturalnych.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Liczby naturalne to dodatnie liczby całkowite , to czy zero zaliczane jest do liczb naturalnych powinno być jasno określone w zadaniu, ponieważ może lub nie musi być zaliczane do nich.
[tex]\mathbb{N} =0,1,2,3,4....[/tex]
Wprowadzam oznaczenia:
x - szukana liczba naturalna , która będzie spełniać poniższe nierówności.
[tex]a)\\\\\sqrt{7} < x < \sqrt{77} \\\\\sqrt[2]{7} < x < \sqrt[2]{77} ~~\mid (~)^{2} \\\\7 < x^{2} < 77~~\Rightarrow x^{2} \in (7;77)[/tex]
Podstawiamy za x liczby naturalne i sprawdzamy ile z nich podniesionych do kwadratu będzie należało do przedziału.
[tex]gdy~~x=3~~to~~x^{2} =9\\\\gdy~~x=4~~to~~x^{2} =16\\\\gdy~~x=5~~to~~x^{2} =25\\\\gdy~~x=6~~to~~x^{2} =36\\\\gdy~~x=7~~to~~x^{2} =49\\\\gdy~~x=8~~to~~x^{2} =64[/tex]
[tex]\boxed{~~x=\{3,4,5,6,7,8\}}[/tex]
Liczb naturalnych spełniający w/w warunek jest 6 .
[tex]b)\\\\\sqrt[3]{7} < x < \sqrt[3]{77} ~~\mid (~)^{3} \\\\7 < x^{3} < 77~~\Rightarrow ~~x^{3} \in (7;77)[/tex]
Podstawiamy za x liczby naturalne I sprawdzamy ile z nich podniesionych do sześcianu będzie należało do przedziału.
[tex]gdy~~x=2~~to~~x^{3} =8\\\\gdy~~x=3~~to~~x^{3} =27\\\\gdy~~x=4~~to~~x^{3} =64[/tex]
[tex]\boxed{~~x=\{2,3,4\}}[/tex]
Są 3 liczby spełniające w/w warunek.
c)
π - liczba pi jest liczbą niewymierną , co oznacza ,że nie możemy jej zapisać jako ilorazu dwóch liczb całkowitych.
Przyjmuje się, że wynosi ona w przybliżeniu: [tex]\boxed{\pi \approx3,14}[/tex]
Takie przybliżenie użyjemy w tym przypadku.
[tex]\pi\approx 3,14~~\land~~10\pi =31,4\\\\\pi < x < 10\pi \\\\3,13 < x < 31,4[/tex]
[tex]x\in (3,14~;~31,4)~~\land ~~x\in \mathbb{N} ~~ \Rightarrow ~~\boxed{x=\{4,5,6,7,...29,30,31\}}[/tex]
Liczb spełniających w/w warunek jest 28.
