Podany ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
[tex]\bold{S_n=a_1\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}}[/tex]
Jeśli dany wzór przekształcimy do postaci ogólnej: [tex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/tex] to będziemy mogli odczytać niezbędne dane:
[tex]a_n=\dfrac2{3^n}=\dfrac2{3\cdot3^{n-1}}=\dfrac23\cdot\dfrac1{3^{n-1}}=\dfrac23\cdot\left(\dfrac13\right)^{n-1}[/tex]
Czyli:
[tex]a_1=\frac23\,,\quad q=\frac13[/tex]
Zatem:
Suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu:
[tex]\bold{S_5=\dfrac23\cdot \dfrac{1-(\frac13)^5}{1-\frac13}=\dfrac23\cdot \dfrac{1-\frac1{243}}{\frac23}=1\cdot \dfrac{\frac{242}{243}}1=\dfrac{242}{243}}[/tex]
Odp.: D
