Zauważmy, że:
promień półokręgu opartego na średnicy AC: [tex]r_{AC} = r,[/tex]
promień półokręgu opartego na średnicy CB: [tex]r_{CB}=2r[/tex],
Promień półokręgu opartego na średnicy AB: [tex]r_{AB} = 3r[/tex]
Obliczmy pola kolejnych półokręgów.
Pole okręgu obliczamy ze wzoru:
[tex]P = \pi r^{2}[/tex]
Pole półokręgu obliczamy ze wzoru:
[tex]\frac{1}{2}P = \frac{1}{2}\pi r^{2}[/tex]
Pole dużego półokręgu opartego na średnicy AB:
[tex]\frac{1}{2}P_{AB} =\frac{1}{2}\pi r^{2} =\frac{1}{2}\pi \cdot(3r)^{2} = \frac{\pi \cdot 9r^{2}}{2} = \underline{4,5\pi r^{2}}[/tex]
Pole najmniejszego półokręgu opartego na średnicy AC:
[tex]\frac{1}{2}P_{AC} = \frac{1}{2}\pi r^{2} =\underline{0,5\pi r^{2}}[/tex]
Pole średniego półokręgu opartego na średnicy BC:
[tex]\frac{1}{2}P_{BC} = \frac{1}{2}\pi \cdot(2r)^{2} = \frac{1}{2}\pi \cdot4r^{2} = \underline{2\pi r^{2}}[/tex]
Pole zacieniowanego obrazu będzie różnicą pola największego półokręgu opartego na średnicy AB i sumy pól dwóch pozostałych półokręgów:
[tex]P_{f} = \frac{1}{2}P_{AB} -\frac{1}{2}(P_{AC} + P_{BC})\\\\P_{f} = 4,5\pi r^{2} - (0,5\pi r^{2}+2\pi r^{2}) = 4,5\pi r^{2} - 2,5\pi r^{2}\\\\\boxed{P_{f} = 2\pi r^{2}}[/tex]
Obliczmy pole koła o średnicy CD
Połączmy punkty A z D i B z D - przy D jest kąt prosty
Otrzymujemy dwa trójkąty prostokątne podobne: ACD i BCD, zatem:
[tex]\frac{|AC|}{|CD|} = \frac{|CD|}{|BC|}\\\\|AC| = 2r\\|BC| = 4r\\|CD| =d[/tex]
[tex]\frac{2r}{d} = \frac{d}{4r}\\\\d^{2} = 8r^{2}\\\\d = \sqrt{8r^{2}} = r\sqrt{4\cdot2}\\\\d = 2\sqrt{2}r\\\\\frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}r}{2} = \sqrt{2}r[/tex]
Pole koła o średnicy CD obliczymy ze wzoru:
[tex]P = \pi(\frac{d}{2})^{2}\\\\P_{CD} = \pi\cdot(\sqrt{2}r)^{2}\\\\\boxed{P_{CD} = 2\pi r^{2} }\\\\P_{f}=2\pi r^{2}\\\\\boxed{P_{f} = P_{CD}}\\\\c.n.u.[/tex]
