Odpowiedź:
[tex]a) \ log_{6}\frac{1}{6}} + log_{\frac{1}{6}}6 = -2\\\\b) \ log_{3}\sqrt{27}-log_{\sqrt{3}}27 = -4,5[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Definicja
Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b.
Matematycznie zapiszemy tę definicję tak:
[tex]log_{a} b = c \ \ \ to \ \ \ a^{c} = b[/tex]
Zatem żeby obliczyć [tex]log_{a}b[/tex], wystarczy odpowiedzieć na pytanie:
Do jakiej potęgi podnieść liczbę a, żeby otrzymać liczbę b?
[tex]a) \ log_{6}\frac{1}{6} + log_{\frac{1}{6}}6 = log_{6}6^{-1} + log\frac{1}{6}}}6^{-1} = -1log_{6}6 -1log_{\frac{1}{6}}6=-1-1 = -2[/tex]
[tex]b) \ log_{3}\sqrt{27} - log_{\sqrt{3}}27 = log_{3}(3^{3})^\frac{1}{2}}-log_{\sqrt{3}}(\sqrt{3})^{6}=log_{3}3^{\frac{3}{2}}-6log_{\sqrt{3}}\sqrt{3} =\\\\=\frac{3}{2}log_{3}3 - 6log_{\sqrt{3}}\sqrt{3}=\frac{3}{2}-6 = 1,5-6 = -4,5[/tex]
Możemy też policzyć "na raty" z def. logarytmu:
[tex]log_{a}b = c \ \ \ to \ \ \ a^{c} = b\\\\a)\\log_{6}\frac{1}{6} =x\\\\6^{x} = \frac{1}{6}\\\\6^{x} = 6^{-1}\\\\\underline{x = -1}\\\\log_{\frac{1}{6}}6 = y\\\\(\frac{1}{6})^{y} = 6\\\\(\frac{1}{6})^{y} = (\frac{1}{6})^{-1}\\\\\underline{y = -1}\\\\log_{6}\frac{1}{6} + log_{\frac{1}{6}}6 = -1-1 =\boxed{ -2}[/tex]
[tex]b)\\log_{3}\sqrt{27} = x\\\\3^{x} = \sqrt{27}\\\\3^{x} = (3^{3})^{\frac{1}{2}}\\\\3^{x} = 3^{\frac{3}{2}}\\\\\underline{x = \frac{3}{2} = 1,5}[/tex]
[tex]log_{\sqrt{3}}27 = y\\\\(\sqrt{3})^{y} = 27\\\\3^{\frac{1}{2}y}} = 3^{3}\\\\\frac{1}{2}y = 3 \ \ \ |\cdot2\\\\\underline{y = 6}\\\\log_{3}\sqrt{27}-log_{\sqrt{3}}27 = 1,5 - 6 = \boxed{-4,5}[/tex]
