Odpowiedź:
Długość przeciwprostokątnej |AB| = c = p + q = 2√2 + 4√2 = 6√2
Szczegółowe wyjaśnienie:
(ilustracja graficzna - załącznik)
Z danych zadania mamy:
q : p = 4/2 = 2, to q = 2p, p = q/2, b = 2√6
[wstęp można pominąć, jest dla tych, którzy bardziej szczegółowo chcą poznać zagadnienie - można przejść niżej za linię poziomą]
Zależności miarowe - twierdzenia - w trójkącie prostokątnym:
Wysokość trójkąta w opuszczona na przeciwprostokątną jest średnią geometryczną obydwu odcinków, na które ta wysokość dzieli przeciwprostokątną:
p : w = w : q, p/w = w/q to w² = pq to w = √(pq)
Każda przyprostokątna jest średnią geometryczną rzutu na przeciwprostokątną i całej przeciwprostokątnej:
p/b = b/c to b² = pc to b = √(pc); q/a = a/c to a² = qc to a =√(qc)
- to z tych zależności przeprowadza się dowód twierdzenia Pitagorasa:
bo a² + b² = qc + pc = c(q + p) i q + p = c to a² + b² = c² ______________________________________________________
z tych zależnośsci weźniemy:
- z danych zadania q = 2p, b = 2√6
- z zależności miarowych w = √(pq) to w² = pq
to w² = p*q = p *2p = 2p² to w² = 2p²
[teraz "już jesteśmy w domu" - ale musiałem to tym wstępem "przetrawić"]
bo:
z trójkąta prostokątnego ACD , z tw. Pitagorasa wyznaczymy p:
w² + p² = b² [teraz tylko podstawić]: 2p² + p² = (2√6)² to
3p² =4 * 6 /:3 to p² = 8 = 4*2 to √p² = √(4*2)
⇒ p = 2√2 ∧ q = 2p ⇒ p = 2√2 ∧ q = 2 * 2√2 = 4√2 ⇒
to: Odpowiedź:
Długość przeciwprostokątnej |AB| = c = p + q = 2√2 + 4√2 = 6√2
