Odpowiedź:
[tex](x,y,z)=(16,2,4)[/tex]
[tex]$(x,y,z)=\Big(16,\frac{1}{2},\frac{1}{4}\Big)[/tex]
[tex]$(x,y,z)=\Big(\frac{1}{16},2,\frac{1}{4}\Big)[/tex]
[tex]$(x,y,z)=\Big(\frac{1}{16},\frac{1}{2},4\Big)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Na początek zauważmy, że:
[tex]a^{\log_{b}c}=a^{\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b} }=\Big(a^{\log_{a}c}\Big)^{\frac{1}{\log_{a}b} }=c^{\log_{b}a}[/tex]
dla [tex]a,b,c[/tex] dodatnich i różnych od jedności.
Takie same założenie możemy poczynić względem oryginalnych zmiennych [tex]x,y,z[/tex].
Zobaczmy jak możemy skorzystać z tej zależności.
Przykładowo dla pierwszego równania możemy zapisać:
[tex]z^{\log_{y}x}=x^{\log_{y}z}[/tex]
Podobnie wygląda to dla pozostałych równań. Ostatecznie otrzymuje się:
[tex]$\left\{\begin{array}{ccc}2x^{\log_{y}z}=512\\2x^{\log_{z}y}=8\\2y^{\log_{x}z}=2\sqrt{2}\end{array}\right[/tex]
[tex]$\left\{\begin{array}{ccc}x^{\log_{y}z}=256\\x^{\log_{z}y}=4\\y^{\log_{x}z}=\sqrt{2}\end{array}\right[/tex]
Korzystając z tego, że [tex]4^4=256[/tex] z pierwszych dwóch równań otrzymujemy zależność:
[tex]x^{4\log_{z}y}=x^{\log_{y}z}[/tex]
Porównujemy wykładniki (przy założeniach odnośnie zadania możemy to zrobić) :
[tex]$4\log_{z}y=\log_{y}z \iff 4\log_{z}y=\frac{1}{\log_{z}y} \iff 4\log_{z}^2y=1[/tex]
[tex]$\log_{z}^{2}y=\frac{1}{2} \iff \log_{z}y=\frac{1}{2} \vee \log_{z}y=-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]$y=z^{\frac{1}{2}} \vee y=z^{-\frac{1}{2}}[/tex]
Teraz podstawiając to do wcześniejszego układu równań dostajemy (obie możliwości):
[tex]$x^{\log_{z^{\frac{1}{2}}}z}=256 \iff x^{2}=256 \iff x = 16 \in D \vee x=-16 \notin D[/tex]
[tex]$x^{\log_{z^{-\frac{1}{2}}}z}=256 \iff x^{-2}=256 \iff x = \frac{1}{16} \in D \vee x=-\frac{1}{16} \notin D[/tex]
Podstawiamy to do trzeciego równania z wcześniejszego układu:
[tex]$y^{\log_{16}y^{2}}=\sqrt{2} \iff y^{\frac{1}{2}\log_{2}y}=\sqrt{2} \iff \log_{2}y \cdot \ln y=\ln 2[/tex]
[tex]$\frac{\ln y}{\ln 2} \cdot \ln y=\ln 2 \iff \ln^{2}y=\ln^{2}2 \iff \ln y=-\ln 2 \vee \ln y = \ln 2[/tex]
[tex]$y=\frac{1}{2} \in D \vee y=2 \in D[/tex]
Łatwo zauważyć, że dla zestawu [tex]$x=\frac{1}{16}[/tex] i [tex]z=y^{-2}[/tex] otrzymamy te same rozwiązania dla [tex]y[/tex].
Pozostaje wyznaczyć [tex]z[/tex] z wyprowadzonej zależności (obie możliwości):
[tex]$z=\frac{1}{4} \in D \vee z = 4 \in D[/tex]
Ostatecznie rozwiązaniami układu są następujące liczby:
[tex](x,y,z)=(16,2,4)[/tex]
[tex]$(x,y,z)=\Big(16,\frac{1}{2},\frac{1}{4}\Big)[/tex]
[tex]$(x,y,z)=\Big(\frac{1}{16},2,\frac{1}{4}\Big)[/tex]
[tex]$(x,y,z)=\Big(\frac{1}{16},\frac{1}{2},4\Big)[/tex]
