Prędkość, droga, czas. Układ równań.
Odp: Pan Wojciech jechał z prędkością 15 km/h, a pan Jerzy z prędkością 57 km/h.
Wprowadźmy oznaczenia i wypiszmy dane:
[tex]v[/tex] - średnia prędkość p. Wojciecha (km/h)
[tex](v+42)[/tex] - średnia prędkość p. Jerzego (km/h)
[tex]t[/tex] - czas przejazdu p. Wojciecha (h)
[tex](t-4,5)[/tex] - czas przejazdu p. Jerzego (h)
[tex]84[/tex] - droga (km)
Wzór:
[tex]v=\dfrac{s}{t}[/tex]
[tex]v[/tex] - prędkość
[tex]s[/tex] - droga
[tex]t[/tex] - czas
Wyznaczymy z niego drogę mnożąc obustronnie przez czas:
[tex]s=v\cdot t[/tex]
Układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}v\cdot t=85\\(v+42)(t-4,5)=85\end{array}\right[/tex]
Z pierwszego równania wyznaczmy czas i podstawmy do równania drugiego:
[tex]v\cdot t=84\qquad|:v\neq0\\\\\boxed{t=\dfrac{84}{v}}[/tex]
[tex](v+42)\left(\dfrac{84}{v}-4,5\right)=84\qquad|\cdot v\neq0\\\\(v+42)(84-4,5v)=84v\\\\84v-4,5v^2+3528-189v=84v\qquad|-84v\\\\-4,5v^2-189v+3528=0\qquad|\cdot(-2)\\\\9v^2+378v-7056=0\qquad|:9\\\\v^2+42v-784=0[/tex]
Równanie rozwiążemy za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego (Δ):
[tex]ax^2+bx+c=0\\\\\Delta=b^2-4ac[/tex]
Jeżeli Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Jeżeli Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie postaci [tex]x=\dfrac{-b}{2a}[/tex]
Jeżeli Δ > 0, to równanie ma dwa rozwiązania postaci [tex]x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}[/tex]
Rozwiązanie równania:
[tex]a=1,\ b=42,\ c=-784\\\\\Delta=42^2-4\cdot1\cdot(-784)=1764+3136=4900 > 0\\\sqrt\Delta=\sqrt{4900}=70\\\\v_1=\dfrac{-42-70}{2\cdot1} < 0\\\\v_2=\dfrac{-42+70}{2\cdot1}=\dfrac{30}{2}=15[/tex]
[tex]v+42=15+42=57[/tex]
Ostatecznie mamy:
[tex]\huge\boxed{v=15\dfrac{km}{h}}\qquad\boxed{v+42=57\dfrac{km}{h}}[/tex]
