Działania na potęgach.
Zapisz jako potęgę liczby 3 wyrażenie:
[tex]\dfrac{3\cdot3^{\sqrt3}\cdot9^{\frac{3}{4}}\cdot27^{-1,5}}{81^{\frac{3}{4}}\cdot243^{\frac{3}{5}}}=3^{-7,5}[/tex]
Skorzystamy z twierdzeń:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\\\\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\qquad\text{dla}\ a\neq0\\\\(a^n)^m=a^{n\cdot m}[/tex]
[tex]\dfrac{3\cdot3^{\sqrt3}\cdot9^{\frac{3}{4}}\cdot27^{-1,5}}{81^{\frac{3}{4}}\cdot243^{\frac{3}{5}}}[/tex]
Zajmijmy się osobno licznikiem i mianownikiem, aby rozwiązanie było bardziej czytelne.
Licznik:
[tex]3\cdot3^{\sqrt3}\cdot9^{\frac{3}{4}}\cdot27^{-1,5}=3\cdot3^{\sqrt3}\cdot(3^2)^{\frac{3}{4}}\cdot(3^3)^{-\frac{3}{2}}=3\cdot3^{\sqrt3}\cdot3^{2\cdot\frac{3}{4}}\cdot3^{3\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)}[/tex]
zapiszmy teraz tylko działania na wykładnikach:
[tex]1+\sqrt3+\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{2}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{2\sqrt3}{2}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{2}=\dfrac{2+2\sqrt3+3-9}{2}=\dfrac{2\sqrt3-4}{2}=\sqrt3-2[/tex]
Czyli licznik jest równy:
[tex]\boxed{3^{\sqrt3-2}}[/tex]
Mianownik:
[tex]81^{\frac{3}{4}}\cdot243^{\frac{3}{5}}=(3^4)^{\frac{3}{4}}\cdot(3^5)^{\frac{3}{5}}=3^{4\cdot\frac{3}{4}}\cdot3^{5\cdot\frac{3}{5}}}=3^3\cdot3^3=3^{3+3}[/tex]
[tex]\boxed{3^6}[/tex]
Czyli mamy:
[tex]\dfrac{3\cdot3^{\sqrt3}\cdot9^{\frac{3}{4}}\cdot27^{-1,5}}{81^{\frac{3}{4}}\cdot243^{\frac{3}{5}}}=\dfrac{3^{\sqrt3-2}}{3^6}=3^{\sqrt3-2-6}=3^{\sqrt3-8}[/tex]
[tex]\huge\boxed{\dfrac{3\cdot3^{\sqrt3}\cdot9^{\frac{3}{4}}\cdot27^{-1,5}}{81^{\frac{3}{4}}\cdot243^{\frac{3}{5}}}=3^\sqrt3-8}[/tex]
