{rysunek poglądowy w załączniku}
AM i CN są dwusiecznymi kątów α i γ w trójkącie ABC, czyli dzielą te kąty na połowy.
Zatem z sumy kątów w trójkącie ACS mamy:
[tex]\bold{|\angle ASC|=180^o-\frac\alpha2-\frac\gamma2}[/tex]
Kąt MSN jest kątem wierzchołkowym do kąta ASC, czyli:
[tex]\bold{|\angle MSN|=|\angle ASC|=180^o-\frac\alpha2-\frac\gamma2}[/tex]
Natomiast z sumy kątów w trójkącie ABC mamy:
[tex]\bold{|\angle ABC|=180^o-\alpha-\beta}[/tex]
Czyli:
[tex]\bold{|\angle MBN|=|\angle ABC|=180^o-\alpha-\beta}[/tex] {to ten sam kąt}
Na czworokącie można opisać okrąg, tylko jeżeli sumy miar jego przeciwległych kątów wynoszą po 180°.
Zatem:
[tex]\bold{|\angle MSN|+|\angle MBN|=180^o}\\\\\bold{180^o-\frac\alpha2-\frac\gamma2+180^o-\alpha-\gamma=180^o}\\\\\bold{-\frac32(\alpha+\gamma)=-180^o\qquad/:(-3)}\\\\\bold{\frac{\alpha+\gamma}2=60^o}[/tex]
