Odpowiedź :
Nie istnieją takie cztery dodatnie liczby całkowite, których suma wynosi [tex]2^{1002}[/tex], a iloczyn wynosi [tex]5^{1002}[/tex].
Zbiór liczb całkowitych dodatnich
Zbiór liczb całkowitych [tex]\mathbb{Z}[/tex] to podzbiór zbioru liczb rzeczywistych [tex]\mathbb{R}[/tex]. Jego elementy to liczby całkowite, czyli możemy zapisać [tex]\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}[/tex].
Zbiór liczb całkowitych dodatnich możemy oznaczyć jako [tex]\mathbb{Z}_+[/tex]. Jest to podzbiór zbioru liczb całkowitych, który zawiera tylko dodatnie jego elementy, zatem mamy [tex]\mathbb{Z}_+=\{1,2,3,4,5,6,...\}[/tex].
Weźmy liczby [tex]a,b,c,d\in\mathbb{Z}_+[/tex]. Sprawdzimy, czy mogą być to takie liczby, że [tex]a+b+c+d=2^{1002},a*b*c*d=5^{1002}[/tex].
Zobaczmy, jaka może być ostatnia cyfra liczby [tex]2^{1002}[/tex]. Wypiszmy kilka początkowych potęg liczby 2: [tex]2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,2^9=512,2^{10}=1024[/tex]. Zatem w potęgach liczby 2 ostatnie cyfry, jakie mogą być to kolejno: 2, 4, 8, 6. Zatem dla [tex]2^{1000}[/tex] ostatnią cyfrą będzie 6, dla [tex]2^{1001}[/tex] ostatnią cyfrą będzie 2 i dla [tex]2^{1002}[/tex] ostatnią cyfrą będzie 4. Czyli szukamy takich liczb, których suma będzie miała ostatnią cyfrę równą 4.
Zobaczmy teraz, jaka będzie ostatnia cyfra liczby [tex]5^{1002}[/tex]. Każda potęga liczby 5 ma ostatnią cyfrę równą 5: [tex]5^1=5,5^2=25,5^3=125,...[/tex]. Zatem liczba [tex]5^{1002}[/tex] też będzie miała ostatnią cyfrę równą 5. Czyli szukamy liczb, których ostatnią cyfrą iloczynu będzie 5.
Skoro iloczyn szukanych liczb ma być równy [tex]5^{1002}[/tex], to każda z nich powinna być potęgą liczby 5, co możemy zapisać [tex]5^x*5^y*5^z*5^t=5^{1002}[/tex], gdzie [tex]x+y+z+t=1002[/tex].
Rozpatrujemy tutaj wykładniki nieujemne, ponieważ szukane liczby mają być całkowite dodatnie. Rozpatrzmy następujące przypadki:
- Wszystkie wykładniki są dodatnie. Zatem każda z liczb będzie miała ostatnią cyfrę równą 5, czyli ich suma da ostatnią cyfrę równą 0. Zgodnie z założeniami ostatnia cyfra sumy powinna być równa 4. Sprzeczność.
- Jeden z wykładników jest równy 0. Daje nam to jedną z liczb [tex]5^0=1[/tex]. Suma tych liczb będzie miała ostatnią cyfrę równą 6, co jest sprzeczne z założeniami.
- Dwa z wykładników są równe 0. Czyli dwie liczby są równe 1. Zatem suma tych liczb będzie miała ostatnią cyfrę równą 2, co jest sprzeczne z założeniami.
- Trzy z wykładników są równe 0. Zatem trzy liczby są równe 1, czwarta wynosi [tex]5^{1002}[/tex], czyli ta liczba jest większa od sumy z założeń - [tex]2^{1002}[/tex]. Sprzeczność.
Cztery wykładniki nie mogą być równe zero, ponieważ każda liczba byłaby wtedy równa 1, czyli [tex]1+1+1+1=4[/tex], [tex]1*1*1*1=1[/tex], co jest sprzeczne z założeniami.
Zatem nie istnieją cztery liczby całkowite dodatnie, których suma jest równa [tex]2^{1002}[/tex], a iloczyn wynosi [tex]5^{1002}[/tex].
