Odpowiedź :
Odległość punktu A od początku układu współrzędnych wynosi: a) [tex]25[/tex], b) [tex]13[/tex], c) [tex]25[/tex]. Długość odcinka AB wynosi: a) [tex]2\sqrt2[/tex], b) [tex]\sqrt{74}[/tex], c) [tex]\sqrt2[/tex].
Długość odcinka AB w układzie współrzędnych
Długość odcinka AB (odległość punktów A i B) w układzie współrzędnych oznaczamy symbolem [tex]d(A,B)[/tex]. Niech punkt A będzie miał współrzędne [tex]A(x_A,y_A)[/tex], a punkt B niech będzie miał współrzędne [tex]B(x_B,y_B)[/tex]. Wtedy długość odcinka AB wyraża się wzorem:
[tex]d(A,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}[/tex]
lub
[tex]d(A,B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex].
Odległość punktu [tex]A(x_A,y_A)[/tex] od początku układu współrzędnych to długość odcinka od punktu [tex](0,0)[/tex] do punktu [tex]A(x_A,y_A)[/tex] i liczymy ją następująco:
[tex]d(A,(0,0))=\sqrt{(x_A-0)^2+(y_A-0)^2}=\sqrt{x_A^2+y_A^2}[/tex].
Odległość punktu A z każdego podpunktu od początku układu współrzędnych obliczymy z powyższego wzoru:
a) [tex]A(15,20)[/tex]
[tex]d(A,(0,0))=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25[/tex]
b) [tex]A(-5,12)[/tex]
[tex]d(A,(0,0))=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13[/tex]
c) [tex]A(-24,-7)[/tex]
[tex]d(A,(0,0))=\sqrt{(-24)^2+(-7)^2}=\sqrt{576+49}=\sqrt{625}=25[/tex]
Długość odcinka AB w każdym podpunkcie obliczymy ze wzoru podanego powyżej:
a) [tex]A(5,3),B(3,5)[/tex]
[tex]d(A,B)=\sqrt{(5-3)^2+(3-5)^2}=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt8=\sqrt{2*4}=2\sqrt2[/tex]
b) [tex]A(-2,3),B(5,-2)[/tex]
[tex]d(A,B)=\sqrt{(-2-5)^2+(3-(-2))^2}=\sqrt{(-7)^2+5^2}=\sqrt{49+25}=\sqrt{74}[/tex]
c) [tex]A(-1,-2),B(-2,-3)[/tex]
[tex]d(A,B)=\sqrt{(-1-(-2))^2+(-2-(-3))^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt2[/tex]
