Odpowiedź :
(1) Prawdopodobieństwa kolejnych zdarzeń są równe: [tex]P(A)=\frac12,P(B)=\frac12,P(C)=\frac12,P(D)=\frac12[/tex].
(2) Prawdopodobieństwa zdarzeń są równe: [tex]P(A)=\frac{11}{36},P(B)=\frac59,P(C)=\frac14[/tex].
(3) Prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie równa 6, wynosi [tex]\frac5{36}[/tex].
Prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia to szansa, że to zdarzenie zajdzie.
Oznaczmy jako [tex]\Omega[/tex] przestrzeń wszystkich możliwych zdarzeń, jakie mogą zajść w danej sytuacji, oraz jako A zdarzenie, którego wynik nas interesuje. Możemy policzyć moc zbiorów [tex]\Omega[/tex] i A - jest to ilość ich elementów. Wtedy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A oznaczymy jako [tex]P(A)[/tex] i policzymy je następująco:
[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}[/tex],
gdzie [tex]|A|,|\Omega|[/tex] to moce zbiorów odpowiednio A i [tex]\Omega[/tex].
Zadanie 1
Rzucamy 3 razy symetryczną monetą. Niech O oznacza, że w rzucie wypadł orzeł, a R - w rzucie wypadła reszka. Wypiszmy wszystkie zdarzenia, jakie mogą zajść przy trzykrotnym rzucie monetą:
[tex]\Omega=\{(O,O,O),(R,R,R),(O,O,R),(O,R,O),(R,O,O),(O,R,R),(R,O,R),(R,R,O)\}[/tex]
Moc tego zbioru wynosi [tex]|\Omega|=8[/tex].
Wypiszmy wyniki sprzyjające zdarzeniom:
- A - za pierwszym razem wypadł orzeł:
[tex]A=\{(O,O,O),(O,O,R),(O,R,O),(O,R,R)\}[/tex], - B - za drugim razem wypadł orzeł:
[tex]B=\{(O,O,O),(O,O,R),(R,O,O),(R,O,R)\}[/tex], - C - wypadły co najmniej dwa orły:
[tex]C=\{(O,O,O),(O,O,R),(O,R,O),(R,O,O)\}[/tex], - D - wypadły co najmniej dwie reszki:
[tex]D=\{(O,R,R),(R,O,R),(R,R,O),(R,R,R)\}[/tex].
Moce tych zbiorów odpowiednio wynoszą: [tex]|A|=4,|B|=4,|C|=4,|D|=4[/tex]. Prawdopodobieństwa zajścia tych zdarzeń wynoszą:
[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac48=\frac12\\P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac48=\frac12\\P(C)=\frac{|C|}{|\Omega|}=\frac48=\frac12\\P(D)=\frac{|D|}{|\Omega|}=\frac48=\frac12[/tex]
Wszystkie te zdarzenia są jednakowo prawdopodobne.
Zadanie 2
Wypiszmy wszystkie możliwe wyniki rzutów, jakie możemy dostać (niech 1 oznacza zdarzenie, że w rzucie wypadła jedynka; niech 2 oznacza, że w rzucie wypadła dwójka itd.):
[tex]\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\(3,1),(3,2),...,(6,5),(6,6)\}[/tex]
Wszystkich możliwych wyników jest 36, czyli [tex]|\Omega|=36[/tex].
Wypiszemy wszystkie możliwe wyniki zdarzeń:
- A - co najmniej raz wypadnie 6:
[tex]A=\{(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)\}[/tex], - B - w jednym z rzutów padnie 5 lub 6:
[tex]B=\{(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,6),(2,6),\\(3,6),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}[/tex], - C - iloczyn oczek, jakie wypadną w obu rzutach, będzie nieparzysta:
[tex]C=\{(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(5,1),(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)\}[/tex].
Moce tych zbiorów są odpowiednio równe: [tex]|A|=11,|B|=20,|C|=9[/tex]. Prawdopodobieństwa zajścia tych zdarzeń wynoszą:
[tex]P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{11}{36}\\P(B)=\frac{|B|}{|\Omega|}=\frac{20}{36}=\frac59\\P(C)=\frac{|C|}{|\Omega|}=\frac9{36}=\frac14[/tex]
Zadanie 3
Tutaj przestrzeń wszystkich zdarzeń jest taka sama, jak w zadaniu poprzednim, zatem [tex]|\Omega|=36[/tex]. Oznaczmy jako A zdarzenie, że suma oczek, które wypadły w rzucie, jest równa 6. Wypiszmy wszystkie takie możliwe zdarzenia:
[tex]A=\{(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)\}[/tex].
Moc tego zbioru wynosi [tex]|A|=5[/tex], zatem prawdopodobieństwo zajścia tego zdarzenia wynosi
[tex]P(A)=\frac5{36}[/tex].
