Planimetria. Podobieństwo trójkątów.
Odcinki DE, FG i AB są równoległe, a pola wielokątów DEC, FGED i ABGF pozostają w stosunku 4 : 5 : 27.
Oblicz [tex]\dfrac{|DE|}{|FG|}[/tex] oraz [tex]\dfrac{|FG|}{|AB|}[/tex].
Odp: [tex]\dfrac{|DE|}{|FG|}=\dfrac{2}{3},\ \dfrac{|FG|}{|AB|}=\dfrac{1}{2}[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Jeżeli pola wielokątów DEC, FGED i ABGF pozostają w stosunku 4 : 5 : 27, to możemy przyjąć, że:
[tex]P_{DEC}=4x,\ P_{FGED}=5x,\ P_{ABGF}=27x[/tex]
gdzie [tex]x[/tex] jest jakąś jednostką pola.
Stąd mamy, że:
[tex]P_{FGC}=P_{DEC}+P_{FGED}\to P_{FGD}=4x+5x=9x\\\\P_{ABC}=P_{FGC}+P_{ABGF}\to P_{ABC}=9x+27x=36x[/tex]
Jako, że odcinki DE, FG i AB są równoległe, to trójkąty DEC, FGC i ABC są podobne na podstawie cechy KKK.
Cechy podobieństwa trójkątów:
- Cecha Bok-Bok-Bok (BBB): jeżeli boki jednego trójkąta tworzą proporcje z odpowiednimi bokami drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne;
- Cecha Kąt-Kąt-Kąt (KKK): jeżeli kąty jednego trójkąta są tej samej miary co kąty drugiego trójkąta, to takie trójkąty są podobne;
(UWAGA: wystarczą dwa kąty) - Cecha Bok-Kąt-Bok (BKB): jeżeli dwa boki jednego trójkąta tworzą proporcję z bokami drugiego trójkąta oraz kąty między tymi bokami są tej samej miary, to takie trójkąty są podobne.
Skalą k podobieństwa nazywamy stosunek odpowiadających sobie boków.
Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.
W związku z tym możemy obliczyć skalę podobieństwa:
[tex]\Delta DEC\sim\Delta FGC[/tex]
[tex]\dfrac{P_{DEC}}{P_{FGC}}=k^2\to k^2=\dfrac{4x}{9x}\\\\k^2=\dfrac{4}{9}\to k=\sqrt{\dfrac{4}{9}}\\\\k=\dfrac{\sqrt4}{\sqrt9}\\\\\boxed{k=\dfrac{2}{3}}[/tex]
W związku z tym:
[tex]\huge\boxed{\dfrac{|DE|}{|FG|}=\dfrac{2}{3}}[/tex]
[tex]\Delta FGC\sim\Delta ABC[/tex]
[tex]\dfrac{P_{FGC}}{P_{ABC}}=k^2\to k^2=\dfrac{9x}{36x}\\\\k^2=\dfrac{9}{36}\\\\k^2=\dfrac{1}{4}\to k=\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\\\k=\dfrac{\sqrt1}{\sqrt{4}}\\\\\boxed{k=\dfrac{1}{2}}[/tex]
W związku z tym:
[tex]\huge\boxed{\dfrac{|FG|}{|AB|}=\dfrac{1}{2}}[/tex]
