Zadanie 1.
Pole czworokąta obliczymy rozbijając go na dwa trójkąty:
[tex]P_{ABCD}=P_{ABC}+P_{ACD}[/tex]
Pola trójkątów policzymy ze wzoru Herona:
[tex]P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
p - połowa obwodu trójkąta
Pole trójkąta ABC:
[tex]p_{ABC}=\dfrac{5+6+7}{2}=\dfrac{18}{2}=9[/tex]
[tex]P_{ABC}=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=\sqrt{36\cdot6}=6\sqrt{6}[/tex]
Pole trójkąta ACD:
[tex]p_{ACD}=\dfrac{7+7+4}{2}=\dfrac{18}{2}=9[/tex]
[tex]P_{ACD}=\sqrt{9(9-7)(9-7)(9-4)}=\sqrt{9\cdot2\cdot2\cdot5}=\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt{5}[/tex]
Pole czworokąta ABCD:
[tex]P_{ABCD}=6\sqrt{6}+6\sqrt{5}[/tex]
Zadanie 2.
Na rysunku zaznaczyłem na zielono promienie, a na pomarańczowo odcinki prostokąta którego wierzchołkami są środki okręgów.
Wzór na promień wpisany w trójkąt prostokątny:
[tex]r=\dfrac{a+b-c}{2}[/tex]
Obliczenie długość przeciwprostokątnej AC:
[tex]|AC|^2=20^2+25^2\\|AC|^2=400+625\\|AC|^2=1025\\|AC|=\sqrt{1025}\\|AC|=\sqrt{25\cdot41}\\|AC|=5\sqrt{41}[/tex]
Obliczenie długości promienia:
[tex]r=\dfrac{20+25-5\sqrt{41}}{2}=\dfrac{45-5\sqrt{41}}{2}[/tex]
Obliczenie długości boków pomarańczowego prostokąta:
[tex]a=|AB|-2r\\a=20-2\cdot\dfrac{45-5\sqrt{41}}{2}=20-45+5\sqrt{41}=5\sqrt{41}-25[/tex]
[tex]b=|BC|-2r\\b=25-2\cdot\dfrac{45-5\sqrt{41}}{2}=25-45+5\sqrt{41}=5\sqrt{41}-20[/tex]
Obliczenie przekątnej pomarańczowego prostokąta, czyli odległości między środkami okręgów:
[tex]c^2=a^2+b^2\\c^2=(5\sqrt{41}-25)^2+(5\sqrt{41}-20)^2\\c^2=1025-250\sqrt{41}+625+1025-200\sqrt{41}+400\\c^2=3075-450\sqrt{41}\\c=\sqrt{3075-450\sqrt{41}}\approx13,91[/tex]
