Tangens to z definicji: [tex]\frac{sin\alpha }{cos\alpha }[/tex]
Żeby użyć tego w tym zadaniu trzeba najpierw podzielić je przez cosα.
Po podzieleniu wyjdzie:
[tex]\frac{5\frac{sin\alpha }{cos\alpha }-4\frac{cos\alpha }{cos\alpha }}{3\frac{cos\alpha }{cos\alpha }+8\frac{sin\alpha }{cos\alpha }}[/tex]
Teraz w miejsce [tex]\frac{sin\alpha }{cos\alpha }[/tex] wstawiamy [tex]\frac{2}{3}[/tex] a w miejsce [tex]\frac{cos\alpha }{cos\alpha }[/tex] wstawiamy 1.
[tex]\frac{5*\frac{2}{3}-4*1}{3*1+8*\frac{2}{3}}[/tex]
Dalej pozostało tylko to rozwiązać.
[tex]\frac{5\frac{sin\alpha }{cos\alpha }-4\frac{cos\alpha }{cos\alpha }}{3\frac{cos\alpha }{cos\alpha }+8\frac{sin\alpha }{cos\alpha }} = \frac{\frac{10}{3}-4}{3+\frac{16}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{25}{3}} = \frac{-2}{25} = -\frac{2}{25}[/tex]
Odp: [tex]-\frac{2}{25}[/tex]=-0,08
Najpierw trzeba obliczyć [tex]cos\alpha[/tex] oraz [tex]cos\beta[/tex] co zrobimy z jedynki trygonometrycznej, której wzór wygląda następująco:
[tex]sin^2\alpha +cos^2\alpha =1[/tex]
[tex](\frac{1}{3})^2+cos^2\alpha=1\\\frac{1}{9}+cos^2\alpha = 1\\1 + 9cos^2\alpha = 9\\9cos^2\alpha=8\\cos^2\alpha=\frac{8}{9}\\[/tex]
[tex]cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex] v [tex]cos\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]
Tutaj trzeba zwrócić uwagę do której ćwiartki należy kąt [tex]\alpha \\[/tex], jak widać należy on do ćwiartki II, w której [tex]cos\alpha[/tex] jest ujemny, więc odrzucamy wynik dodatni.
[tex]cos\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]
Teraz trzeba to powtórzyć dla kąta [tex]\beta[/tex]
[tex]sin^2\beta+cos^2\beta =1[/tex]
[tex](\frac{\sqrt{7}}{5})^2+cos^2\beta=1\\\frac{7}{25}+cos^2\beta=1\\7+25cos^2\beta=25\\25cos^2\beta=18\\cos^2\beta=\frac{18}{25}\\[/tex]
[tex]cos\beta=-\frac{3\sqrt{2}}{5}[/tex] v [tex]cos\beta=\frac{3\sqrt{2}}{5}[/tex]
Ponownie trzeba zwrócić uwagę na to, do której ćwiartki należy kąt [tex]\beta[/tex], jak widać należy on do ćwiartki II, w której [tex]cos\beta[/tex] jest ujemny, więc odrzucamy wynik dodatni.
[tex]cos\beta=-\frac{3\sqrt{2}}{5}[/tex]
Teraz należy odjąć od siebie oba cosinusy i wyjdzie nam wynik.
[tex]-\frac{2\sqrt{2}}{3}-(-\frac{3\sqrt{2}}{5})=-\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{3\sqrt{2}}{5})=-\frac{10\sqrt{2}}{15}+\frac{9\sqrt{2}}{15}) = \frac{-\sqrt{2}}{15}=-\frac{\sqrt{2}}{15}[/tex]
Odp: [tex]-\frac{\sqrt{2}}{15}[/tex]≈-0,0942809