Dziedzina i miejsce zerowe funkcji.
Wyznacz dziedzinę funkcji f oraz miejsca zerowe tej funkcji, o ile istnieją.
[tex]b)\ f(x)=\dfrac{\frac{1}{3}x^2-3}{\sqrt{3-x}}\\\\\huge\boxed{D:x\in(-\infty,\ 3)}\\\boxed{Mz_f:x=-3}[/tex]
[tex]e)\ f(x)=\dfrac{4x^2+4x+1}{4x^2-1}\\\\\huge\boxed{D:x\in\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2}\right\}}\\\boxed{Mz_f:BRAK}[/tex]
ROZWIĄZANIA:
Dziedzina funkcji jest to zbiór, na którym funkcja jest określona i istnieje.
Miejsce zerowe jest to argument (x), dla którego wartość funkcji (y = f(x)) jest równa 0.
[tex]b)\ f(x)=\dfrac{\frac{1}{3}x^2-3}{\sqrt{3-x}}[/tex]
Dziedzina:
Mianownik musi być niezerowy oraz pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}\sqrt{3-x}\neq0&(1)\\\\3-x\geq0&(2)\end{array}\right\\\\(1)\\\sqrt{3-x}\neq0\iff3-x\neq0\Rightarrow \boxed{x\neq3}\\(2)\\3-x\geq0\qquad|+x\\x\leq3[/tex]
Z (1) i (2) mamy:
[tex]\boxed{D:x < 3\to x\in(-\infty,\ 3)}[/tex]
Miejsca zerowe:
Przyrównujemy wzór funkcji do zera:
[tex]\dfrac{\frac{1}{3}x^2-3}{\sqrt{3-x}}=0[/tex]
Ułamek jest równy 0, gdy licznik jest zerowy. Zatem:
[tex]\dfrac{\frac{1}{3}x^2-3}{\sqrt{3-x}}=0\iff\dfrac{1}{3}x^2-3=0\qquad|+3\\\\\dfrac{1}{3}x^2=3\qquad|\cdot3\\\\x^2=9\Rightarrow x=\pm\sqrt9\\\\\boxed{x=-3}\in D\ \vee\ x=3\notin D[/tex]
[tex]e)\ f(x)=\dfrac{4x^2+4x+1}{4x^2-1}[/tex]
Dziedzina:
Mianownik musi być niezerowy:
[tex]4x^2-1\neq0\qquad|+1\\\\4x^2\neq1\qquad|:4\\\\x^2\neq\dfrac{1}{4}\Rightarrow x\neq\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\\\x\neq-\dfrac{1}{2}\ \wedge\ x\neq\dfrac{1}{2}\\\\\boxed{D:x\in\mathbb{R}-\left\{-\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2}\right\}}[/tex]
Miejsca zerowe:
Przyrównujemy wzór funkcji do zera:
[tex]\dfrac{4x^2+4x+1}{4x^2-1}=0[/tex]
Ułamek jest równy 0, gdy licznik jest zerowy. Zatem:
[tex]\dfrac{4x^2+4x+1}{4x^2-1}=0\iff4x^2+4x+1=0[/tex]
Możemy zauważyć, że jest to rozwinięcie wzoru skróconego mnożenia:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
[tex](2x)^2+2\cdot2x\cdot1+1^2=0\\\\(2x+1)^2=0\iff2x+1=0\qquad|-1\\\\2x=-1\qquad|:2\\\\x=-\dfrac{1}{2}\notin D[/tex]
Czyli funkcja nie posiada miejsc zerowych.
