Rozwiązane

Liczby a, b, c spełniają warunek |a−b| = 2|b−c| = 3|c−a|. Udowodnij, że a = b = c.



Odpowiedź :

Animaldk

Udowodnij, że a = b = c, jeżeli liczby a, b, c spełniają warunek |a−b| = 2|b−c| = 3|c−a|.

Rozpatrzmy pierwsze dwa równania z trzech:

(1) |a - b| = 2|b - c|

(2) |a - b| = 3|c - a|

(3) 2|b - c| = 3|c - a|

(1)

|a - b| = 2|b - c| ⇔ a - b = 2(b - c) ∨ a - b = -2(b - c)    |+b

a = 2b - 2c + b ∨ a = -2b + 2c + b

a = 3b - 2c ∨ a = 2c - b

(2)

|a - b| = 3|c - a| ⇔ a - b = 3(c - a) ∨ a - b = -3(c - a)    |-a

-b = 3c - 3a - a ∨ -b = -3c + 3a - a

-b = 3c - 4a ∨ -b = -3c + 2a   |·(-1)

b = 4a - 3c ∨ b = 3c - 2a

Podstawiamy teraz z (1) do (2):

b = 4a - 3c i a = 3b - 2c

b = 4(3b - 2c) - 3c

b = 12b - 8c - 3c   |-12b

-11b = -11c   |:(-11)

b = c

b = 4a - 3c i a = 2c - b

b = 4(2c - b) - 3c

b = 8c - 4b - 3c  |+4b

5b = 5c   |:5

b = c

b = 3c - 2a i a = 3b - 2c

b = 3c - 2(3b - 2c)

b = 3c - 6b + 4c   |+6b

7b = 7c   |:7

b = c

b = 3c - 2a i a = 2c - b

b = 3c - 2(2c - b)

b = 3c - 4c + 2b   |-2b

-b = -c   |·(-1)

b = c

b = 3c - 2a i a = 3b - 2c

b = 3c - 2(3b - 2c)

b = 3c - 6b + 4c   |+6b

7b = 7c   |:7

b = c

W każdym przypadku wyszła nam równość b = c.

Podstawiamy do (3):

2|b - c| = 3|c - a|

2|c - c| = 3|c - a|

2|0| = 3|c - a|

0 = 3|c - a|   |:3

|c- a| = 0 ⇔ c - a = 0   |+a

a = c

Stąd mamy:

a = b = c

■

Definicja wartości bezwzględnej:

[tex]|a|=\left\{\begin{array}{ccc}a&\text{dla}&a\geq0\\-a&\text{dla}&a < 0\end{array}\right[/tex]

Stąd mamy

[tex]|a|=b\iff a=b\ \vee\ a=-b[/tex]

Inne Pytanie