Stereometria. Graniastosłup prawidłowy sześciokątny.
Objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy długości a jest równa [tex]\dfrac{3a^2\sqrt6}{2}[/tex].
Wykaż, że przekątne ścian bocznych wychodzących z jednego wierzchołka tworzą kąt o mierze 60°.
Wykonujemy rysunek poglądowy z odpowiednimi oznaczeniami.
Objętość graniastosłupa:
[tex]V=P_p\cdot H[/tex]
[tex]P_p[/tex] - pole podstawy
[tex]H[/tex] - wysokość bryły
W podstawie mamy sześciokąt foremny.
Pole sześciokąta foremnego:
[tex]P=6\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}[/tex]
[tex]a[/tex] - bok sześciokąta
Do wykazania mamy, że kąt α ma miarę 60°.
Jako, że przekątne ścian bocznych są równej długości, to trójkąt ABC na rysunku jest równoramienny (AB = AC).
Trójkąt równoramienny, w którym kąt między ramionami ma miarę 60° jest trójkątem równobocznym.
Wystarczy nam wykazać, że jest to trójkąt równoboczny.
Mamy daną objętość bryły.
Podstawmy do wzoru i obliczmy wysokość:
[tex]\dfrac{3a^3\sqrt6}{2}=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}\cdot H\qquad|\cdot\dfrac{2}{3\sqrt3}\\\\a^3\sqrt2=a^2H\qquad|:a^2\neq0\\\\\boxed{H=a\sqrt2}[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa:
a² + b² = c²
a, b - długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego
c - długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego
obliczamy długość przekątnej [tex]d_b[/tex] ściany bocznej:
[tex]d_b^2=a^2+H^2\\\\d_b^2=a^2+(a\sqrt2)^2\\\\d_b^2=a^2+2a^2\\\\d_b^2=3a^2\to d_b=\sqrt{3a^2}\\\\\boxed{d_b=a\sqrt3}[/tex]
Szukamy teraz długości krótszej przekątnej [tex]d_p[/tex] podstawy.
Dłuższe przekątne sześciokąta foremnego dzielą go na 6 przystających trójkątów równobocznych. Wówczas krótsza przekątna sześciokąta odpowiada dwóm wysokościom takiego trójkąta.
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a obliczamy ze wzoru:
[tex]h=\dfrac{a\sqrt3}{2}[/tex]
zatem krótsza przekątna to dwie takie długości:
[tex]d_p=2\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}\\\\\boxed{d_p=a\sqrt3}[/tex]
Otrzymujemy równość:
[tex]\huge\boxed{d_b=d_p=a\sqrt3}[/tex]
co daje nam, że trójkąt ABC jest równoboczny. Zatem:
[tex]\huge\boxed{\alpha=60^o}[/tex]
■
